§ Сдвиг вправо или влево

В компьютере все составлено из нулей и единиц (0 и 1), и потому существуют разные способы представить число, в том числе представить его в целом или дробном виде. Есть общепринятый стандарт, как правильно представлять числа и вот его как раз и будем рассматривать.
Вначале надо сказать, что числа в процессоре всегда целые, да, несмотря на то, что якобы можно их представить в дробном виде. Все равно все числа остаются целыми, хотя и записываются на бумаге как дроби. Допустим, надо представить число 14 в двоичном виде:
14₁₀ = 1110₂
Теперь разделим это число на 2, и мы получим число 7 в десятичном и 111 в двоичном. Если разделить любое двоичное число на 2, то у него просто срезается справа один разряд. Примеры:

• 10101 (21) делим на 2, получаем 1010 (10)
• 10110 (22) делим на 2, получаем 1011 (11)
• 01101 (13) делим на 2, получаем 0110 (6)

Как можно заметить, при делении на 2 число как будто сдвигается вправо. Это и называется сдвиг вправо. Соответственно, если мы двигаем число влево, то это равносильно умножению на 2.
В десятичной системе работает все точно так же, только делится и умножается на 10:

• 12125 делим на 10, получаем 1212
• 52320 делим на 10, получаем 5232

И так далее. Тут работает точно такой же принцип, что и в двоичной системе - срезается один разряд справа, а все остальные двигаются вправо. Вообще можно обобщить для любой разрядности, не только двоичной, но можно и троичной и восьмеричной, и шестнадцатеричной и вообще любой.
Давайте сохраним число, допустим:
111₂ делим 2 -> 11.1₂

§ Дробные двоичные числа

Как мы видим, число зашло в дробь. То есть получилось что 11 это число 3, а 0.1 в двоичном представлении это на самом деле число 0.5 в десятичном. Давайте тогда попробуем разделить число 1 на 2:

• 1 / 2 = 0.1 (0.5)
• 0.1 / 2 = 0.01 (0.25)
• 0.01 / 2 = 0.001 (0.125)

И так далее. Также можно представить числа в виде суммы, к примеру 0.1 (0.5) + 0.01 (0.25) = 0.11 (0.75). Если 0.75 умножить на 4, то получим число 3. Тем самым образом, можно превратить любое дробное число в целое, если сдвинуть влево его несколько раз.
Допустим, надо представить в виде целого следующее число: 1.00101. Для этого необходимо сделать 5 сдвигов влево, а 5 сдвигов вправо равносильно умножению на 32, т.к. 2⁵ = 32. Получаем следующее число 100101₂ = 37. Итак, если 37 разделить на 32, то получим 1.15625, иными словами 1.00101₂ = 1.15625₁₀.
Данное число можно было перевести еще двумя способами, которые конкретно здесь я рассматривать на буду.

§ Нормализация

Если говорить в общем, то существуют числа, которые называются нормализованные, у таких чисел целое число всегда больше 0 и меньше 10, например нормализованное десятичное число может иметь от 1 до 9, а нормализованное двоичное число всегда имеет целое число, равное единице. Оно всегда равно единице и потому его нигде не пишут, ибо это лишняя потеря информации.
Как нормализовать число? Допустим у нас есть число 3552, и его нужно нормализовать:

• Делим на 10, получаем 355.2
• Делим на 10, получаем 35.52
• Делим на 10, получаем 3.552

Все, число нормализовали. Только этого мало. Чтобы восстановить его, нужно знать, сколько раз мы поделили на 10, а именно 3 раза делили, а значит, что:
3.552*103 = 3552
Эти два числа слева и справа идентичны друг другу, но слева нормализованная форма, а справа - обычная десятичная форма. Число 3.552 называется мантисса, 10³ показатель степени, а еще у числа есть знак (плюс или минус), в данном случае это знак плюс. В двоичном представлении за плюс берут число 0, за минус число 1.
Ровно тем же самым способом нормализуются двоичные числа, просто там основание степени будет не 10, а 2. Нормализуем число 11011

• 11011 делим на 2, получаем 1101.1
• 1101.1 делим на 2, получаем 110.11
• 110.11 делим на 2, получаем 11.011
• 11.011 делим на 2, получаем 1.1011

В итоге получается:
1.1011*24 = 11011
Число 1 вначале всегда убирается, не хранится. Это называется "скрытая единица". Ее нет, но она всегда подразумевается, что она есть. Так что ее всегда надо учитывать.

§ Представление

Рассмотрим то, как представляется число float. Картинка взята с Википедии. Всего число занимает 32 бита, или 4 байта, так как 8 бит = 1 байт. Самый старший 31-бит обозначает знак. Для положительных чисел знак равен 0, для отрицательных равен 1.
Поле "порядок" занимает биты от 23 до 30 включительно, а это ровно 8 бит, или 1 байт. Не думаю, что это сделано случайно, поскольку это очень удобно использовать в дальнейшем. Что такое порядок? Это то число раз, которое надо сдвинуть либо влево, либо вправо.
Порядок выполнен весьма оригинально. Если он равен 127 (или 01111111₂), то тогда считается, что мантиссу не надо домножать ни на что, то есть 127 это возведение 2 в 0 степень (что дает число 1).

• Если же порядок равен 128, то тогда надо будет сдвинуть мантиссу влево на 1 шаг (то есть умножить на 2)
• Порядок 129 значит что умножить на 2 надо два раза (то есть 2 сдвига влево), или умножить на 4
• Порядок 130 — умножить на 8, три сдвига
• Порядок 255 — сдвиг на 128 разрядов! Это число 2¹²⁸! Оно по идее просто огромно.

Если же порядок меньше чем 127, то все будет наоборот работать - мантисса начнет сдвигаться вправо, то есть теперь будет не умножение, а деление на 2ⁿ.
Мантисса занимает разряды от 0 до 22 включительно (23 разряда) + 1 скрытый разряд, получается 24-битное число. Это число представляется в виде 3 байтов. Можно считать что точность этого числа составляет, так сказать 2^-24 без учета порядка. Самое минимальное число, которое можно получить - это 2^-126. Казалось бы, почему бы и не меньше, но из-за скрытой единицы получить в нормализованном виде число меньше этого нельзя никак.
Есть особые зарезервированные числа. Если мантисса равна 0 и порядок равен 0, то такое число считается 0. Если же порядок равен 255, то это число считается INF (бесконечность). Это зарезервированные значения. В зависимости от знака может быть минус 0 и минус бесконечность.

§ Примеры

Необходимо к примеру, перевести число 5.25 в float. Первым делом, необходимо найти его нормализованное значение. Для этого представим в двоичном виде 5.25 = 101.01.
Задача в том, чтобы получить нормализованное число, а значит, надо сдвинуть его вправо (разделить на 2):

• 101.01 делим на 2, получаем 10.101
• 10.101 делим на 2, получаем 1.0101

Число нормализовали, какой у нее будет порядок? Поскольку 2 раза сдвигали вправо, чтобы выполнить нормализацию числа, то в этом случае порядок будет равен 127 + 2=129, тем самым образом показывая, сколько раз надо сдвинуть влево (умножить на 2), чтобы получить из нормализованного значения то, что мы задали.
Мантисса этого числа записывается в таком виде:

010 1000 0000 0000 0000 0000
  2    8    0    0    0    0

То есть убирается скрытый разряд, а остальные числа уходят в старшие биты. Самый старший бит мантиссы - это первое число после запятой, самый младший разряд мантиссы - это последнее возможное число после запятой.
Итак, мы получили порядок 129 и мантиссу 280000 (шестнадцатеричная).
Поскольку 129 это 10000001₂ то полностью число будет записано так:

+ порядок  мантисса
0 10000001 01010000000000000000000
0100 0000 1010 1000 0000 0000 0000 0000
   4    0    A    8    0    0    0    0

Можно использовать этот инструмент для проверки и конвертации чисел.