Главная » Математика » Вывод производной sin(x) и cos(x)

Оглавление


§ Производная sin(x)

По формуле нахождения производной:
sin'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{sin(x + \Delta x) - sin(x)}{\Delta x}
На самом деле, здесь используется формула разности синусов:
sin(a) - sin(b) = 2sin\frac{a-b}{2}cos\frac{a+b}{2}
В данном случае, a = x + \Delta x и b = x , необходимо подставить выражение:
  • Первое \frac{a-b}{2} = \frac{x + \Delta x - x}{2} = \frac{\Delta x}{2}
  • Второе \frac{a+b}{2} = \frac{x + \Delta x + x}{2} = \frac{2x + \Delta x}{2} = x + \frac{\Delta x}{2}
Если подставить эти вычисленные выражения, то получится так:
sin(x + \Delta x) - sin(x) = 2sin\frac{\Delta x}{2}cos(x+\frac{\Delta x}{2})
Теперь надо перенести в формулу для поиска производной
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2sin\frac{\Delta x}{2}cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}
Есть один нюанс. Дело в том, что можно сделать так, чтобы верхняя 2 перенеслась под {\Delta x} внизу и получится следующее:
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}cos(x+\frac{\Delta x}{2})
Можно заметить первый замечательный предел с синусом, который будет равен 1, а значит, остается только лишь один косинус:
sin'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} cos(x+\frac{\Delta x}{2}) = cos(x)
Поскольку лимит здесь стремится к 0, потому дельта x обнуляется. Вот, собственно и всё.

§ Производная косинуса

Как и в предыдущем параграфе, необходимо найти решение лимита для получения производной:
cos'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{cos(x + \Delta x) - cos(x)}{\Delta x}
Но вместо разности синусов нужно подставить разность косинусов:
cos(a) - cos(b) = -2sin\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}
Добавим вычисленные ранее суммы углов в эту формулу и получим следующее:
cos(a) - cos(b) = -2sin (x + \frac{\Delta x}{2}) sin (\frac{\Delta x}{2})
Теперь впишем, как и ранее, в формулу с лимитом, и, как в прошлый раз, перенесем 2 под \Delta x .
cos'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} -2sin (x + \frac{\Delta x}{2}) \frac{ sin (\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} -sin (x + \frac{\Delta x}{2}) \frac{ sin (\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}
Здесь отлично видно первый замечательный предел с синусом, который стремится к 1, то есть, его можно убрать из формулы, а дельту заменить на ноль:
cos'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} -sin (x + \frac{\Delta x}{2}) = -sin(x)
Таким образом, доказано, что производная от косинуса равна минус синус от икс.
Мяу.
30 янв, 2022
© 2007-2024 Идут юниты и колоссальный кот идет