§ Разложение экспоненты в ряд

Это самая простая формула из всех возможных. Почему? Потому что как только не дифференцировать экспоненту, ее форма остается той же самой:
(e^x)' = e^x
А это значит, что:
a_n = \frac{P^{(n)}(0)}{n!} = \frac{e^0}{n!} = \frac{1}{n!}
Подставим коэффициенты в ряд Маклорена (Тейлора):
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... + \frac{x^n}{n!}
Это ряд сходится очень быстро в случае, если x \le 1 , и если подставить x = 1 , то можно получить значение экспоненты:
e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
У этого ряда есть одна особенность - на его основе легко выводится формула Эйлера.

§ Получение формулы Эйлера

Чтобы получить эту формулу Эйлера, сначала надо найти разложение в ряд sin(x) и cos(x) , и вспомнить о мнимой единице, что если умножить эту единицу саму на себя, то получим -1.
Разложим в ряд синус:
a_0 = sin(0) = 0
a_1 = \frac{sin'(0)}{1!} = \frac{cos(0)}{1!} = \frac{1}{1!}
a_2 = \frac{sin''(0)}{1!} = -\frac{sin(0)}{2!} = 0
a_3 = \frac{sin^{(3)}(0)}{1!} = -\frac{cos(0)}{3!} = -\frac{1}{3!}
a_4 = \frac{sin^{(4)}(0)}{1!} = \frac{sin(0)}{4!} = 0
Как видим, начались повторения, и далее, при новом дифференцировании, будут снова эти последовательности. В общем, примерно так:
sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - ... = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{{x^{2n+1}}}{(2n+1)!}
Аналогичным методом раскладывается и косинус:
cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \frac{x^{10}}{10!} + ... = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{{x^{2n}}}{(2n)!}
А теперь самое интересное - это получение формулы Эйлера. Итак, у нас есть экспонента, и возвести эту экспоненту требуется не просто во что-либо, а в степень ix , то есть, мнимая единица, умноженная на x.
e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + ... + \frac{(ix)^n}{n!}
Как мы знаем, i^2 = -1 , значит, получим в итоге
e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} + ...
Объединим там, где i :
e^{ix} = (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...) + i(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...)
Мы видим, что слева - это ряд, который относится к косинусу, а там где коэффициент i - там синус.
e^{ix} = cos(x) + isin(x)
Вот и все - всего лишь магия. И теперь напоследок, если x = \pi , то:
e^{i\pi} = cos(\pi) + isin(\pi) = -1
Это и есть знаменитое тождество Эйлера:
e^{i\pi} + 1 = 0
5 мая, 2020
© 2007-2022 Таффи улетает в парке