§ Число e

Вообще, так говоря между нами, экспонента, это просто функция, причем она называется показательная, у которой основание - особое число, называемое числом Эйлера, или число e . Показательная функция еще по-другому называется "степень", у которой есть определенное основание и аргумент.
В целом говоря, вот что e^x является экспонентой, и это реальный факт. Число e , лежащее в основе экспоненты, равно вот этому значению (приблизительно):

2,
7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Конечно, это всего лишь приближенное значение, или первые 1000 знаков. Надеюсь, их хватит на всё. Естественно, точность может быть сколько угодно бесконечной, но на самом деле хватает и 10 знаков после запятой.

§ Банковские счета

А теперь к главному. Представим на мгновение невозможную ситуацию, которая произошла в параллельной Вселенной, где всё происходит по странным обстоятельствам. Некий неизвестный пришел в банк с целью заработать немало денег на процентной ставке. Он подходит к столу, уверенно ложит сто условных единиц на стол и гордо заявляет:
— Вы говорили, что у вас 100% годовые!
Ему на это отвечают, что он вроде как и с дубу рухнул, и вроде как и нет, но потом, заглянув в положение от Самого, они поняли, да, есть такой прикол. И спрашивают, кто это перед ними. И он отвечает, что это он Сам. Ну естественно, поклоны, преклоны, поцеловали ступню, как положено по форме, но подробности опустим и перейдем к делу. Пришел банкир, директор, бухгалтер и стали считать.
— Если вы положите 100 у.е. на счет, через год у вас будет 200. Почему? Потому что 100% прибыли.
— Согласен, — ответил он. — У меня будет 200 у.е., ибо 100 у.е. на 100% это еще 100. Но я слишком жадный, и мне мало такого. Необходимо больше золота.
— И что вы предлагаете? — удивленно ответили все. — Ведь у нас 100% годовых и так уже зашкаливает за все возможные рамки.
Клиент вытащил калькулятор и хитро ухмыльнулся. Банкиры переглянулись и поняли — сейчас начнется.
— Итак, — говорит он. — Раз я не могу поднять планку выше 100%, то тогда давайте договоримся так. Вы будете выплачивать мне 50% раз в полгода.
— Тогда получается, — хмыкнул бухгалтер, — что в первые полгода от 100 у.е. вам придет 50 у.е., и будет 150 у.е в первые полгода.
— Все так, — ответил хитрый барыга, — а теперь смотрите, во вторые полгода, — он нажал несколько кнопок на калькуляторе, — уже от 150 у.е. будет еще половина, правильно? А это дополнительные 75 у.е.
— Что по итогу дает 225 у.е...
Клиент довольно потирал руки. У него был план.
— А теперь, — заявил он, — давайте по 25% каждые 3 месяца, или 4 раза в год начислять проценты.
— Так, — теперь уже бухгалтер судорожно схватился за калькулятор. Испарина вышла на его лысыне. — Значит, 100 умножаем на 125%, или на 1.25, потом еще раз умножаем на 1.25, еще на 1.25, еще на 1.25, и получаем примерно... 244. Что на 19 больше, чем при 50%.
Лица у присутствующих были каменные, словно у статуй моаи.
— Я слышал, периодов у вас можно сделать сколько угодно, — продолжал клиент. — Хоть бесконечно.
— Можно... - слегка побледневшими губами произнес директор. — Я кажется, понял, в чему вы клоните. Но вам не удастся нас обмануть!
— Почему бы и нет? Возьмите период в 100 отсчетов.
Тут все резко начали чесать свою репу.
— Нам нужен математик, — наконец, сказал кто-то из персонала. — Ста-а-а-ас! Поди ко мне, помощь нужна.
Из какой-то кабинки лениво вылез тыжпрограммист. Он небрежно почесал бородатый подбородок и нахмурился.
— Что надо? Опять принтер сломался?
— Нет, тут кое-что похуже. Надо кое-что вычислить, а ты у нас спец по математике.
— Да какой я спец, но ладно, что у вас там?
— Тут клиент просит посчитать капитализацию за 100 периодов отчета.
— Пожалуйста, русскими словами, я ничего не понял, — ответил Стас. — Что надо сделать?
— Надо пересчитать 100 периодов, что тебе непонятно то, — нахмурился директор. — Давай считай, а то зарплату снижу.
— Ага, у меня такая прямо зарплата, — ворчливо ответил Стас, но подчинился.
Он сел за комп и стал думать. Значит, если всего отчетов 2, то получается, что начисления процентов происходят два раза в год по 50%. Если начислений 4, то 4 раза в года по 125%. Если же 10, то тогда 10 раз в год по 110%. Отслеживается зависимость, проценты равны \frac{100}{N} , где N - количество раз для начисления.
При каждом начислений, исходная сумма умножается на этот процент. А всего начислений N. Чтобы это значило... Допустим, предположил Стас, у нас была сумма A. Через период она будет умножена на заданный процент, то есть A * P, где P это процент. Поскольку считать в процентах не очень удобно, нужно перейти к долям. То есть вместо 150% писать 1.5, разделив проценты на 100.
Так, клиент имел A = 100, допустим, количество периодов N=4. Значит, что 100%, деленное на 4, будет 125%, или 1,25.
  • A * 1,25 = A1
  • A1 * 1,25 = A2
  • A2 * 1,25 = A3
  • A3 * 1,25 = Итог
Попробуем разложить так: A*1.25*1.25*1.25*1.25. Ага, ясно, это же степень 1.25^4 ! А что если сделать так, проценты выразить через вот такую вот формулу:
p = 1 + \frac{1}{n}
То есть при N=1 будет p=2, при N=2 будет p=1.5, при N=4 будет P=1.25 и так далее.
Да, это так, но как получается, что надо будет эти проценты возвести в степень N:
A(1 + \frac{1}{n})^n
И получится итоговое значение. Ну что же, давайте считать. Клиент сказал N=1000, A=100:
100(1 + \frac{1}{1000})^{1000} = 100(1 + 0.001)^{1000} = 100 * 2,71692393224
— Я закончил. Короче, будет коэффициент 2.71692 и так далее.
Директор покачал головой и с опаской посмотрел на клиента. Тот спросил:
— А сколько будет если я положу вклад на 1 000 000 (один миллион) отсчетов?
Прогер нехотя зашел на сайт wolframalpha и сосчитал:
(1 + \frac{1}{1000000})^{1000000} = 2.7182804693193768838...
Все облегченно вздохнули, изменения были небольшие. Потом они считали для все большего и большего количества отсчетов, но это число не увеличивалось так резко, как было изначально, а приближалось к некоторому определенному числу.
И это число называется число Эйлера.
Клиент решил остановиться на 1 млн отсчетах, поскольку банк не позволил ему сделать максимум бесконечности, ибо там уже оборзение совсем уж полное приключилось. Стасу пришлось повысить мизерную зарплату, потому Сам поблагодарил его за калькуляцию калькуляторных калькуляторов.
Да и сам клиент ушел довольным.
— Да он нас нагрел на 171%, — сокрушался директор. — Пожалуй, исключите этот пункт про 100%, сделайте 4% годовых и капитализацию раз в месяц.
Тем самым образом паралелльная реальность стала перпендикулярной.
11 ноя, 2020
© 2007-2022 Психическая доска сидела