§ Определение

На самом деле, все достаточно просто, но для начала рассмотрим, как выглядит сам ряд Фурье и что он из себя представляет:
f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} [ a_k cos(kx) + b_k sin(kx) ]
Также ряд Фурье еще есть в комплексной плоскости и представляется немного иначе, но здесь я рассматриваю лишь тригонометрический ряд для удобства. В комплексной плоскости вычисление коэффициентов получается по почти тому же самому принципу.
Здесь a_n и b_n — коэффициенты к ряду, их требуется высчитывать, чтобы разложить в ряд, например, получить ряд вида:
f(x) = \frac{a_0}{2} + (a_1 cos(x) + b_1 sin(x)) + (a_2 cos(2x) + b_2 sin(2x)) + ...

§ Расчет нулевого коэффициента

Перед подсчетом коэффициента необходимо и обязательно вначале домножить уравнение на sin(kx) или cos(kx) где k является индексом коэффициента, после чего проинтегрировать левую и правую часть уравнения по диапазону [-\pi,\pi]
Вычислим коэффициент k=0
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} a_0 cos(0)\,dx + \sum_{k=1}^{\infty} \int_{-\pi}^{\pi} [ a_k cos(kx) cos(0) + b_k sin(kx) cos(0) ]\,dx
Как я ранее доказывал, для определенного интеграла sin(ax)cos(bx) = 0 и sin(ax)sin(bx) = 0 , а также cos(ax)cos(bx) = 0 где a \neq b на диапазоне интеграла, понятное дело [-\pi,\pi] , и потому вся сумма справа обращается в 0 и останется только рассчитать очень простое выражение:
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \,dx = \frac{a_0x}{2} |_{-\pi}^{\pi} = \frac{a_0}{2} (\pi + \pi) = a_0\pi
Это лишь означает то, что
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx
Иными словами, для того, чтобы вычислить коэффициент a_0 для функции, интегрируемой на диапазоне [-\pi,\pi] нужно рассчитать определенный интеграл для этой функции и поделить ее на \pi . Но это лишь только нулевой коэффициент!

§ Расчет остальных коэффициентов

Для расчета остальных коэффициентов будем пользоваться точно тем же самым методом, то есть, чтобы рассчитать a_k , надо домножить на cos(kx) , а чтобы рассчитать b_k , надо домножить на sin(kx) . Почему так получается, уже ранее я говорил — из-за ортогональности функции. То есть, при расчете интегралов в сумме ряда Фурье останутся лишь только те интегралы, которые будут того же самого k, что и коэффициент, и они будут равны \pi . Давайте посмотрим на примере расчета коэффициента k=1:
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos(x) \,dx = a_1 \int_{-\pi}^{\pi} cos(x) cos(x) \,dx + b_1 \int_{-\pi}^{\pi} sin(x) cos(x) \,dx + a_2 \int_{-\pi}^{\pi} cos(2x) cos(x) \,dx + ...
Если вспомнить, что говорилось ранее, то в итоге останется только вот это:
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos(x) \,dx = a_1 \int_{-\pi}^{\pi} cos(x) cos(x) \,dx = \pi a_1
Поскольку определенный интеграл от квадрата косинуса или синуса будет всегда равен \pi (доказывалось ранее).
Итак, что можно увидеть:
a_1 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos(x) \,dx
Если же ряд Фурье домножить на sin(x) то будет примерно то же самое, но останется другой коэффициент
b_1 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) sin(x) \,dx

§ Общая формула для любого k

Вообще, так можно сделать с любым целочисленным k:
a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos(kx) \,dx
b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) sin(kx) \,dx
Таким образом, мы получим все необходимые коэффициенты к ряду Фурье. Стоит однако отметить, что вычислить такие коэффициенты не так и просто бывает, потому что нужно взять интеграл, как-никак, и причем от тригонометрической функции, что само по себе является интереснейшим занятием.

§ Пример расчета

Давайте попробуем вычислить ряд Фурье f(x) = x . Поскольку я не хочу перегружать материал лишними выводами, а нужен только результат, я просто возьму Wolframalpha и проведу расчет интеграла для a_k и b_k
Считываем коэффициент a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x cos(kx) \,dx = 0 .
Считываем коэффициент b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x sin(kx) \,dx = 2\frac{sin(\pi k) - \pi k cos(\pi k)}{\pi k^2} .
Сразу можно сделать вывод, что коэффициенты a_k равны нулю и что их можно не учитывать. Также стоит заметить, что во второй части sin(\pi k) будет всегда равняться нулю, поскольку k является целочисленным. Это упростит формулу расчета коэффициентов:
b_k = -\frac{2}{k}cos(\pi k) = -\frac{2}{k}(-1)^{k}
А теперь подставим в ряд Фурье коэффициенты и получим
x = -2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} sin(kx)}{k}
Теперь раскроем ряд, получив такую последовательность
x = 2 sin(x) - sin(2x) + \frac{2sin(3x)}{3} - \frac{2sin(4x)}{4} + ...
На этом, собственно и всё.

§ Демонстрация


Здесь я постепенно повышаю количество итерации от 1 до 8192, чтобы показать то, как сходится ряд. Обращу внимание на то, что функция совпадает только на диапазоне [-\pi,\pi]
20 мая, 2020
© 2007-2022 Все мелочи недурственно переколочены