§ Одномерное преобразование

Элементы матрицы представлены формулой DCT-2_n (число 2 - это версия ДКП, n - размерность):
Коэффициент перед косинусом вычисляется так:

• если
• если

Это - прямое преобразование. Обратное преобразование точно такое же, необходимо всего лишь транспонировать матрицу.

§ Прямое преобразование

Допустим, есть вектор на 8 элементов. Нужно умножить его на матрицу 8x8

v0   m00 m01 ... m07
v1   m10 m11 ... m17
.. x ..............
v6   m60 m61 ... m67
v7   m70 m71 ... m77

По правилу умножения матриц, каждый элемент вектора (столбец) умножается на строку в матрице:
Другими словами, например, рассчитаем:
И так для каждого нового элемента столбца.

§ Обратное преобразование

Здесь все будет так же, кроме одного: матрица транспонируется. То есть, она как будто переворачивается на 90 градусов и значения следующие:

v0   m00 m10 ... m70
v1   m01 m11 ... m11
.. x ..............
v6   m06 m16 ... m76
v7   m07 m17 ... m77

Потому рассчитываются теперь значения иначе:
Здесь от предыдущей формулы поменялся только порядок

§ Небольшой вывод преобразования

Умножим вектор на матрицу

v0   m00 m01 m02
v1 x m10 m11 m12
v2   m20 m21 m22

Получим

f0 = v0*m00 + v1*m01 + v2*m02
f1 = v0*m10 + v1*m11 + v2*m12
f2 = v0*m20 + v1*m21 + v2*m22

Умножим снова вектор на транспонированную матрицу

f0   m00 m10 m20
f1 x m01 m11 m21
f2   m02 m12 m22

Получим

n0 = f0*m00 + f1*m10 + f2*m20
n1 = f0*m01 + f1*m11 + f2*m21
n2 = f0*m02 + f1*m12 + f2*m22

А теперь вместо f0,f1,f2 подставим их выражения

n0 = (v0*m00 + v1*m01 + v2*m02)*m00 + (v0*m10 + v1*m11 + v2*m12)*m10 + (v0*m20 + v1*m21 + v2*m22)*m20
n1 = (v0*m00 + v1*m01 + v2*m02)*m01 + (v0*m10 + v1*m11 + v2*m12)*m11 + (v0*m20 + v1*m21 + v2*m22)*m21
n2 = (v0*m00 + v1*m01 + v2*m02)*m02 + (v0*m10 + v1*m11 + v2*m12)*m12 + (v0*m20 + v1*m21 + v2*m22)*m22

Внесем общие множители из скобок:

n0 = (v0*m00*m00 + v1*m01*m00 + v2*m02*m00) + (v0*m10*m10 + v1*m11*m10 + v2*m12*m10) + (v0*m20*m20 + v1*m21*m20 + v2*m22*m20)
n1 = (v0*m00*m01 + v1*m01*m01 + v2*m02*m01) + (v0*m10*m11 + v1*m11*m11 + v2*m12*m11) + (v0*m20*m21 + v1*m21*m21 + v2*m22*m21)
n2 = (v0*m00*m02 + v1*m01*m02 + v2*m02*m02) + (v0*m10*m12 + v1*m11*m12 + v2*m12*m12) + (v0*m20*m22 + v1*m21*m22 + v2*m22*m22)

Перегруппировка v0,v1,v2:

n0 = v0*(m00*m00 + m10*m10 + m20*m20) + v1*(m01*m00 + m11*m10 + m21*m20) + v2*(m02*m00 + m12*m10 + m22*m20)
n1 = v0*(m00*m01 + m10*m11 + m20*m21) + v1*(m01*m01 + m11*m11 + m21*m21) + v2*(m02*m01 + m12*m11 + m22*m21)
n2 = v0*(m00*m02 + m10*m12 + m20*m22) + v1*(m01*m02 + m11*m12 + m21*m22) + v2*(m02*m02 + m12*m12 + m22*m22)

Итак, что в итоге получилось? Сейчас я обращу внимание на то, что у коэффициентов v0, v1, v2 — находится сумма квадратов. А что такое ? Это косинусы ведь.
Дело в том, что сумма этих косинусов по дискретным отсчета это значение интеграла:
Поскольку значение - это константа, поскольку она не меняется при суммировании, то видно, что функция то может быть ортонормирована! Просто необходимо домножить константу в косинусе на .
И выходит, что результат получается равным для любого . В данном случае в качестве выступает номер вектора, который вычисляем.
Еще одна особенность, что при интеграл будет равен .
Теперь рассмотрим два других компонента:

• v1*(m01*m00 + m11*m10 + m21*m20)
• v2*(m02*m00 + m12*m10 + m22*m20)

Как видно, они подчиняются правилу:
Где - это номер элемента вектора, который считаем (здесь константа), и - номер компонента, тоже константа. И получается что:
Где . Аналогично, если привести в тот же ортонормированный вид, то получится 0, всегда 0, из-за свойства ортонормированности. Это означает, что при перемножении на такую матрицу и умножении ее снова на ту же, получим одно и то же одинаковое значение входящего вектора.
Естественно, это все доказано так себе, но хотя бы общее представление теперь у меня имеется, почему именно оно так работает.
Поскольку, если применять формулу вычисления, которая получилась выше, то для новых коэффициентов получатся значения (выше показано, что интеграл при a = 0 равен n), и также
Чтобы этого избежать, коэффициенты как раз и домножаются на для нулевого , и для всех остальных.