Еще одно важное свойство при вычислении ряда Фурье является то, что тригонометрические функции ортонормированы также и на диапазоне , поскольку это представление наиболее удобно. Вывод формул интегралов делался в предыдущей статье.
Доказательство 1. SINA COSB
Часть с синусами исчезает сразу, поскольку синус любого угла, кратного будет равен 0. Косинус же любого угла, кратного , будет равен 1, то есть, получается что итоговый результат будет равен 0 при любом .
Доказательство 2. SIN²A и COS²A
Так как формула ранее была выведена, то просто стоит подставить другие пределы:
И по итогу выйдет тоже самое, то есть синус от любого угла, кратного , равен 0, т.е. правая часть исчезает, и остается лишь только . Все верно. То есть здесь просто применена та же самая формула, но с другими пределами. Совершенно аналогично действует функция - здесь просто поменялся знак перед синусом, но это ничего не меняет и результат как был, так и остался равным .
Доказательство 3. SINA SINB | COSA COSB
Не стану долго заморачиваться и сразу же напишу определенный интеграл от выражения
Здесь, как можно заметить, везде используются синусы и каждый синус либо кратен , либо равен 0, то по итогу дает везде 0. В случае с косинусом меняется лишь только знак перед синусом, что, ясное дело, не меняет ничего.
Я рассказал о том, что функция ортонормирована на участке и это хорошо. Это потребуется для дискретного преобразования Фурье.