§ Зачем?

Решил я написать небольшую статейку по поводу того, как надо считать проценты за месяц, если их указали в год. Например, банк решил выдать проценты на депозит (короче деньги положил на накопительный счет) под 5% годовых. Это означает, что если положил 100 условных единиц (допустим, рублей), и через год набежит уже +5% от 100 рублей, то есть, будет 105 рублей на счету через ровно год.
Ясное дело, что каждый месяц происходит начисление процентов. Только вот эти проценты — они совсем другие, не 5% в месяц. И я часто пытался подсчитать чисто математически, так какой же реальный процент в месяц будет?

§ Вывод формулы

Итак, допустим положили на счет S рублей (где S-это сколько положили). Месячный процент примем за X - неизвестное, искомое, а годовой процент за Y.
Теперь давайте считать. Каждый месяц будет начисляться X% на сумму S, и получается что с каждым месяцем этот S будет все увеличиваться и уже с него будут считаться проценты. Теперь проследим, что получится. Возьмем изначальный капитал S=100, X=1%. Значит, к изначальной сумме S добавится +S*1% = S + S*1/100 = S*(1+1/100).
Поскольку 1+1/100 будет равно 1,01 то лучше вместо X взять не 1% а именно X=1,01.
  • Месяц 1. S0=100, S1=100*1,01=101
  • Месяц 2. S1=101, S2=101*1,01=102,01
  • Месяц 3. S1=102,01, S3=102,01,01=103,0301
Как видно, конечный S будет равен S=((S*X)*X)*X или, другими словами, он будет равен S*X3. Здесь количество месяцев будет равно степени, в которую это все возводится.
Теперь, X нам никак неизвестен, но известен S и также известен общий процент за год, например 5%. Это значит, что через год S будет равен S*5% или иными словами S*1,05. Составим теперь общую формулу, где n=12 (количество месяцев):
S*X^n = S*Y
X^n = Y
Здесь видно, что S вообще сокращается, удаляясь из формулы и остается только X (неизвестный процент за месяц) и Y (известный процент за год). Итак:
X^{12} = 1.05
Ненуачо, просто возводим обе части уравнения в степень \frac{1}{12} и получаем это:
X = 1.05^\frac{1}{12} = 1,0040
Вот и вся формула, как правильно перевести из годовых процентов в месячные проценты. А получается у нас так. Сначала удаляется 1 из 1,0040 и потом умножаем на 100 и ответ 0,4% в месяц при 5% годовых.

§ Еще пример

Допустим что есть 4.5% годовых. Подсчитать, сколько будет процентов в месяц. Берем 4.5, делим на 100 и добавляем 1, получается 1.045
x = 1.045^\frac{1}{12} = 1,0036
Вычисляем (1,0036 - 1)*100 = 0,36%
Такова жизнь.
14 фев, 2021
© 2007-2022 Галимая доска мешала