Главная » Математика » Сложение синусов для интерференции

§ Поиск пересечения

Для цифровой голографии нужен вывод формул для сложения синусов (либо косинусов) вида (формула 1):
a_1sin(x + b_1) + a_2sin(x + b_2) = asin(x + b)
Циклические частоты возле x я не учитываю, поскольку подразумевается когерентность (одной частоты). В итоговом результате нам надо узнать числа a и b .

§ Расчет новой фазы

Необходимо найти такое число x , чтобы a_1sin(x + b_1) + a_2sin(x + b_2) = 0 , а это значит, что и asin(x + b) = 0 , а поскольку так, то а таком случае ответ будет равен b = -x , т.к. sin(x + b) = 0 если x + b = 0 .
Мы просто ищем решение уравнения (то есть, корни) исходного уравнения. Но сначала разложим синус:
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
То есть
a_1(sin(x)cos(b_1) + cos(x)sin(b_1)) + a_2(sin(x)cos(b_2) + cos(x)sin(b_2)) = 0
Приводим слагаемые:
a_1sin(x)cos(b_1) + a_1cos(x)sin(b_1) + a_2sin(x)cos(b_2) + a_2cos(x)sin(b_2) = 0
sin(x)(a_1cos(b_1) + a_2cos(b_2)) = -(cos(x)(a_1sin(b_1) + a_2sin(b_2)))
tg\ x = \frac{sin\ x}{cos\ x} = -\frac{a_1sin(b_1) + a_2sin(b_2)}{a_1cos(b_1) + a_2cos(b_2)}
Но поскольку b = -x , то тогда надо нам искать так
tg\ x = -tg\ b
Значит, убираем знак
tg\ b = \frac{sin\ x}{cos\ x} = \frac{a_1sin(b_1) + a_2sin(b_2)}{a_1cos(b_1) + a_2cos(b_2)}
Чтобы найти b , надо найти арктангенс. В общем-то и все.

§ Расчет амплитуды

Рассчитать амплитуду очень просто. Достаточно в формулу 1 подставить x = 0 и найти a :
a_1sin(b_1) + a_2sin(b_2) = asin(b)
То есть:
a = \frac{a_1sin(b_1) + a_2sin(b_2)}{sin(b)}
Вот и вся премудрость. И ведь, главное, это работает!
5 мая, 2020
© 2007-2024 Мутил слабый человек