§ Любопытный вопрос

Для задачи по дискретному преобразованию Фурье, которое я исследую, мне потребовалось узнать справедливость вычисления интеграла через последовательность сумм, или, проще говоря, проверить, можно ли найти интеграл таким образом и будет ли это справедливо.
Что такое определенный интеграл? Это просто площадь функции от точки a до точки b .
Я хочу взять какую-то самую простую функцию и попробовать подсчитать по ней интеграл. Возьму функцию f(x) = x и подсчитаю для нее интеграл от 0 до b :
\int_{0}^{b} x\,dx = \frac{1}{2}x^2|_{0}^{b} = \frac{1}{2}(b^2 - 0) = \frac{b^2}{2}

§ Расчет площади по прямоугольникам

На иллюстрации зеленым обозначена площадь

Ясное дело, что такую простую фигуру подсчитать можно и по формуле расчета площади прямоугольного треугольника \frac{b^2}{2} , но я хочу показать, что можно пересчитать также и через последовательность кусочков:

Разделим область от 0 до b на N прямоугольников. Высота прямоугольника будет равна y=f(t) , где t = \frac{nb}{N} . Ну или другими словами, t пробегает от 0 до b по кускам. Соответственно n (номер прямоугольника) пробегает от 1 до N. Высота известна, а ширина прямоугольника будет равна \frac{b}{N} . Теперь составлю формулу для расчета всех прямоугольников для функции:
S_N(b) = \sum_{n=1}^{N} f(\frac{nb}{N}) \frac{b}{N}
Это общее представление для любой функции, но так как f(x) = x , то получается вот так
S_N(b) = \sum_{n=1}^{N} \frac{nb^2}{N^2} = \frac{b^2}{N^2} (1 + 2 + 3 + .. + N )
Абсолютно нетрудно заметить, что, собственно говоря, справа получается обыкновенная арифметическая прогрессия от 1 до N. Поскольку формулу для такой арифметической прогрессии я получил еще в 10 лет, то вот я сразу же ее привожу:
S_N = \frac{1}{2}(N + N^2)
Впишу ее в предыдущую формулу
S_N(b) = \frac{b^2(N + N^2)}{2N^2} = \frac{b^2}{2N} + \frac{b^2}{2}
Теперь, когда уравнение для получения суммы было найдено, скажу сразу - чем больше будет N, тем выше точность вычисления, и ясное дело, что чем ниже N, то тем она ниже. Если взять N таким огромным, то одна из частей уравнения просто обнулится. Если же N будет стремиться к бесконечности, то и S_N(b) будет стремиться к \frac{b^2}{2} . Это и есть лимиты.
А значит, можно считать, что метод вычисления через сумму прямоугольников совершенно верный. Естественно, можно считать интеграл чуть быстрее, используя либо метод трапеции, либо сплайнов, но в самом предельном своем случае, достаточно лишь метода прямоугольников.
У меня пока все, это все, что я хотел сказать по поводу вычисления интеграла от x. Что-то сложно выходит. Цель моя была только показать возможность и точность такого рода вычисления.
20 мая, 2020
© 2007-2022 Все коты ништяково получены