§ Квадратное уравнение

Существует формула, которая называется квадратным уравнением:
ax^2 + bx + c = 0
Я всегда бездумно пользовался дискриминатом и дискриминировал все что мог, но вот призадумался, а как она выводится, эта формула? И решил зайти посмотреть. Оказалось, что она еще и выводится, а я не знал, думал, что с потолка взяли и вывели. Сейчас расскажу, как ее вывести, десу.

§ Вывод

Сначала надо разделить обе части уравнения на a:
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
После того, как разделили, я перенесу в правую часть свободный член и, самое важное, добавлю (\frac{b}{2a})^2 к обоим частям уравнения. Это важный магический трюк.
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
И добавляю магическую константу:
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
Умножим \frac{b}{a}x и тут же разделим на 2:
x^2 + 2\frac{b}{2a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
Давайте кое-что освежим в памяти:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Если тщательным образом присмотреться к тому, что слева уравнения, то там a = x и b = \frac{b}{2a} , то есть, можно сократить до квадрата:
(x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
Теперь наведем порядок справа, приведя общие множители:
(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
Как можно заметить, справа высвечивается дискриминант:
D = b^2 - 4ac
То есть вот так теперь можно писать
(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{D}{4a^2}
Ну что, финальный аккорд? Надо взять квадратный корень у обеих частей уравнения:
x + \frac{b}{2a} = \frac{\pm \sqrt{D}}{2a}
Перенесу слева направо:
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{\pm \sqrt{D} - b}{2a}
Вот и все! Круто? Круто!
Такова жизнь.
5 апр, 2022
© 2007-2022 Все дрова ништяково получены