§ Начало

Приве-е-е-ет! Задача состоит в том, чтобы рассчитать, например, чему равен cos(\alpha-\beta) . Для этого придется рассмотреть окружность, у которой радиус равен единице (1), то есть, единичную окружность. Были треугольники - стали окружности, рассмотрим одну из них.

Из школьного курса математики мы знаем:
A=(cos\alpha,sin\alpha)
B=(cos\beta,sin\beta)
Если что, это просто определение синуса и косинуса, которое гласит, что:
cos\alpha = \frac{x}{R} => x = cos\alpha
sin\alpha = \frac{y}{R} => y = sin\alpha
Радиус у нас единичный, а x - прилежащий катет, y - противолежащий.
Обратим внимание, что если сложить углы \alpha + c , то в итоге получаем угол \beta , либо так c = \beta - \alpha . Что это дает? Надо просто вспомнить, что такое угол c , а именно, это скалярное произведение двух векторов A и B (учитывая, что они единичные):
cos(c) = \langle A,B\rangle
cos(\beta - \alpha) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)
Всё! Все доказано, расходимся.

§ Где все остальное?

Мы доказали вычитание углов для косинуса, а как же другие формулы, где синусы? Сложение? Давайте
разбираться. Для начала, попробуем вывести формулу сложения углов косинуса cos(\beta + \alpha) . Тут все просто, нужно лишь \alpha = -\alpha сделать и получится:
cos(\beta - (-\alpha)) = cos(-\alpha)cos(\beta) + sin(-\alpha)sin(\beta)
Зная, что cos(-\alpha) = cos(\alpha) , и sin(-\alpha) = -sin(\alpha) , получим
cos(\beta + \alpha) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)
Либо, в общем виде
cos(\beta \mp \alpha) = cos(\alpha)cos(\beta) \pm sin(\alpha)sin(\beta)
Теперь ко всему остальному. Известно, что:
sin\alpha = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)
Допустим, надо сделать так:
sin(\alpha+\beta) = cos(\frac{\pi}{2} - (\alpha+\beta))
Тут немного раскрыть и переставить скобки, то получится так:
cos((\frac{\pi}{2} - \alpha)-\beta) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)cos(\beta) + sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)sin(\beta)
Заменив:
cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin\alpha
sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos\alpha
Получаем
sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)
Если сделать \beta = -\beta , то тогда
sin(\alpha + (-\beta)) = sin(\alpha)cos(-\beta) + cos(\alpha)sin(-\beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)

§ Итоги

Теперь, что у нас вышло:
cos(\alpha \pm \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) \mp sin(\alpha)sin(\beta)
sin(\alpha \pm \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) \pm cos(\alpha)sin(\beta)

§ Умножение

Давайте докажем еще кое-какие важные соотношения. Рассмотрим, чему будет равно выражение:
\frac{cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)}{2}
Применяя доказанные выше соотношения, имеем следующее:
cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)
cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)
Вычитая один из другого получаем
\frac{cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta) - (cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta))}{2} = \frac{2sin(\alpha)sin(\beta)}{2} = sin(\alpha)sin(\beta)
То есть, другими словами
sin(\alpha)sin(\beta) = \frac{cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)}{2}
Точно тем же самым методом можно рассчитать и другое соотношение
cos(\alpha)cos(\beta) = \frac{cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)}{2}
sin(\alpha)cos(\beta) = \frac{sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)}{2}
15 мар, 2019
© 2007-2022 Дурил отличный север