Оглавление
§ Что это
Говорят, что учиться никогда не поздно, а переучиваться — тем более. Эту задачу с легкостью ореха раскалывают школьники и даже дошкольники 9-го класса школы, поэтому мне сейчас тоже потребуется разорехить эту задачу, хотя бы потому что хотелось бы повторить материал. Сначала выясним, что такое геометрическая прогрессия.Прогрессия бывает как арифметическая, так и геометрическая. Прогрессия произошла от слова "прогресс", что значит непрерывное разрастание и умножение знаний человечества в сторону сингулярности на пользу Космоса... опять меня несет не туда. Так выглядит разного рода прогрессии:
Пример арифметической прогрессии (формула 1) и геометрической (формула 2) Как видно по формулам, геометрическая прогрессия возрастает по степеням, а основание у нее одно и то же.
§ Как получить прогрессию
Заметно видно, что следующий элемент прогрессии получается умножением предыдущего на некоторое число , которое называется еще знаменателем прогрессии. Это значит, что можно легко вычислить любой n-й элемент прогрессии через вот такую формулу:Каждый следующий элемент равен . Например или и так далее. Вот попробуем посмотреть разные последовательности:
Методом догадывания (а именно, индукции), можно легко заметить как выводится формула , для каждого n-го элемента необходимо возвести в степень и умножить на — начальное значение прогрессии.
§ Получение суммы прогрессии
Сумма геометрической прогрессии выражается вот таким образом:Вроде как элементарно, но всегда есть нюанс, как это подсчитать? Для этого придумана одна математическая хитрость. Дело в том, что можно домножить обе части уравнения на , но с учетом, чтобы не был равен 0, иначе ничего не получится. Получится вот следующее:
А что такое это не что иное как уже известная ранее формула , так что с учетом этого, перепишем вышеприведенную последовательность так:
Получится одно и то же, просто сместится немного вперед, на один элемент и это правильно. А вот теперь подходим к главному трюку, который все решает. Дело в том, что если умножить исходное уравнение на некое ненулевое число, а потом из полученного уравнения вычесть исходное, то получим новое уравнение, которое тоже будет правильным. Небольшое доказательство. Допустим, что , умножаем это уравнение на .
После делим на и получается снова . Знание — сила, и поэтому, вычтем одно уравнение из другого:
Получим вот такой результат:
Как можно заметить, элементы, начиная с и заканчивая , просто исчезнут, потому что будут вычтены, потому остается вот такое небольшое уравнение. Я сразу вынесу за скобки сумму:
И вот уже опираясь на эту формулу, легко вычислить значение , только сначала бы надо узнать, чему будет равен . Опираясь на уже известную формулу , считаем:
И подставляем в предыдущее уравнение:
Разделим обе части уравнения на :
Готово! Вот таким именно образом и считается сумма геометрической прогрессии и это просто улёт!
§ Бесконечно убывающая прогрессия
Что будет, если ? Сумма бесконечного числа элементов убывающей прогрессии можно вычислить. Дело в том, что при знаменателе прогрессии, меньшем чем 1, он будет постоянно убывать, пока не достигнет нуля при бесконечном , следовательно:Если так, то в таком случае
Да, вот это и всё, что надо знать про бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.