§ Уравнение сферы

Сегодня рассмотрю как вычислить пересечение шара и линии, заданной параметрически.
Известно, что уравнение сферы задается как . Здесь r - радиус сферы. Также, уравнение линии задается как . Здесь A - начальная позиция, а вектор - это вектор направления прямой.
Чтобы найти точку пересечения, надо x, y, z вставить в уравнение шара:

§ Раскрытие скобок

Теперь необходимо раскрыть скобки:
Приведем общие множители, и получится:
Теперь известны следующие коэффициенты:
Коэффициент С можно вычислить только один раз на фрейм.
Итого, получается квадратное уравнение:

§ Решение квадратного уравнения

Чтобы решить квадратное уравнение, необходимо сначала найти дискриминант:
В зависимости от того, какой будет дискриминант, такое будет количество решений:

• D < 0, решений нет, линия не имеет точки пересечения со сферой
• D = 0, решение только одно
• D > 0, решений два

Если есть либо одно решение, либо два, то находятся они так:

§ Код

P - точка камеры, org - центр сферы, r - радиус.

1void render_sphere(vec3 P, vec3 org, float r) {
2
3    vec3  A = {P.x - org.x, P.y - org.y, P.z - org.z};
4    float c = A.x*A.x + A.y*A.y + A.z*A.z - r*r;
5
6    for (int y = -100; y < 100; y++)
7    for (int x = -160; x < 160; x++) {
8
9        vec3 AB = { (float)x/160, (float)y/160, 1.0 };
10
11        float a = AB.x*AB.x + AB.y*AB.y + AB.z*AB.z;
12        float b = 2*(A.x*AB.x + A.y*AB.y + A.z*AB.z);
13        float D = b*b - 4*a*c;
14
15        pset(160 + x, 100 - y, D > 0 ? 0xffffff : 0);
16    }
17}