Это самая простая формула из всех возможных. Почему? Потому что как только не дифференцировать экспоненту, ее форма остается той же самой:
А это значит, что:
Подставим коэффициенты в ряд Маклорена (Тейлора):
Это ряд сходится очень быстро в случае, если , и если подставить , то можно получить значение экспоненты:
У этого ряда есть одна особенность – на его основе легко выводится формула Эйлера.
§ Получение формулы Эйлера
Чтобы получить эту формулу Эйлера, сначала надо найти разложение в ряд и , и вспомнить о мнимой единице, что если умножить эту единицу саму на себя, то получим -1.
Разложим в ряд синус:
Как видим, начались повторения, и далее, при новом дифференцировании, будут снова эти последовательности. В общем, примерно так:
Аналогичным методом раскладывается и косинус:
А теперь самое интересное – это получение формулы Эйлера. Итак, у нас есть экспонента, и возвести эту экспоненту требуется не просто во что-либо, а в степень , то есть, мнимая единица, умноженная на x.
Как мы знаем, , значит, получим в итоге
Объединим там, где :
Мы видим, что слева – это ряд, который относится к косинусу, а там где коэффициент – там синус.
Вот и все – всего лишь магия. И теперь напоследок, если , то: