Фантазии о Вселенной и мой личный сайт
Почему фрактал фрактальный?

Почему фрактал фрактальный?


Фракталы! Чарующее слово, когда я слышу его, уши словно обливаются райской музыкой! Врочем, я слишком неравнодушен сейчас, и лишен беспристрастия. Фракталы, действительно, красивейшие порождения в математике. Как окрестил их Мандельброт - "чудища математики", хотя... у нас с ним разные вкусы. Выглядят они просто замечательно! Хотя, пора заканчивать с эмоциям и переходить к более серьезному делу.

Как всегда, дело оказалось серьезней, чем я думал. До конца же сам механизм образования такого "легкодоступного" фрактала, такого, как Фрактал Мандельброта, мне остался непонятен. Точнее, математически доказать я не могу, лишь привести некоторую аналогию.

Самое интереснейшее качество фракталов - это их самоподобие и некая дробная размерность, с коей я до сих пор не разобрался. Особое внимание мое привлекли так называемые "алгебраические фракталы", которые строятся по довольно-таки простым итерационным формулам. Например Z(i+1) = Z(i)*Z(i) + C, где C = x + i*y - точка в комплексном пространстве, где нужно определить, существует ли фрактальное множество[*], или нет, а Z(0) = 0 + 0*i. Вся соль заключается в комплексных числах, где числа x, y ведут себя совершенно непредсказуемо из-за этого самого i*i = -1, которое то "тянет" в минус y и x, то вытягивает обратно, в общем комплекная точка C(x, y) "носится как угорелая" по всему комплексному пространству, по "орбите". Но об этом позже... А сейчас лучше полицезреть самоподобие классического и самого простого фрактала Мандельброта, который мне так нравится, и которым я часто все иллюстрирую :)

Фрактал Мандельброта в приближении

Конечно, до сих пор меня "терзают смутные сомнения" в полной правильности мои слов, но все равно кое-что открылось. Как получаются такие красивые фигуры, у которых нет краев, а сами края - лишь хаос самоподобия? Почему именно самоподобия, почему именно оно?

Я взглянул на формулу:

Z(i+1) = Z(i)*Z(i) + C,

после чего разложил в более лучшем виде:

Z(i) = a + b*i и C = x + y*i.

Теперь так:
Z(i)*Z(i) + C = (a + b*i)*(a + b*i) + (x + y*i) =
= (a*a + 2*a*b*i + i*b*i*b) + (x + y*i)

теперь же, учитывая невероятный факт того, что i*i = -1, получаем

Z(i)*Z(i) + C = (a*a - b*b + x) + i*(2*a*b + y)

Вот такая формула. Конечно, точка C(x, y) - фиксированная и не меняется, но зато как меняются a и b! Вот как раз от них и зависит форма алгебраического фрактала. Дело в том, что a и b тоже образуют точку Z(a,b).

Определение. Фрактальное множество существует в точке C(x,y), если при заданных значениях C(x,y) модуль Z(i) никогда не выйдет за пределы некоторой константы R.

Теперь бы пояснить. Модуль |Z(i)| = a + b*i в комплексном пространстве равен r = корень из числа (a*a + b*b). Если он превысит предел R, то эта точка C(x,y), которая была вначале, не лежит в множестве, которое называется фрактальным из-за неимения краев.

Конечно, можно еще и расширить "множество" Мандельброта до некоторых пределов. Для начала проанализуем обстановку. Так, если модуль |Z(i)| > R, это значит, точка C(x,y) не принадлежит фрактальному множеству. А это значит, что все точки, чьи x2 + y2 > R2, заведомо не принадлежат множеству.

Теперь поясню, что такое орбита. Каждый раз, когда ищется, принадлежит ли точка C(x,y) фрактальному множеству, то в формуле, описывающей множество Мандельброта Z(1) = C, потому что, как известно Z(0)*Z(0) = 0, ибо Z(0) = 0. После этого полученное новое число Z(2) = (x + i*y)*(x + i*y) + (x + i*y) = x2 - y2 + x + i*(2*x*y + y) "перескакивает" на новую позицию Z(2) в комплексном пространстве. И так далее, формула от итерации к итерации становится все более громоздской, потому лучше вычислить ее, чем составлять громадные формулы с N-м количеством степеней. Да, кстати, если максимальное количество итерации будет N, то максимальная степень в последней формуле будет 2*N... впрочем, неважно.

Главное же в том, что точка Z начинает принимать причудливые позиции. Если же нарисовать на координатной оси "скачки" Z, то можно увидеть, что эта точка, Z, вращается по определенной "орбите". Этих орбит у формулы Z(i+1) = Z(i)*Z(i) + C существует ограниченное количество, но они постоянно варьируются, принимая разные положения, форму, конечно, внутри допустимой окружности радиуса R, как и было раньше сказано. Точка Z может перемещаться в этой окружности 1 раз, 2 раза, 100 раз, миллиард раз, вообще, никогда не выходить из-за ее пределов, постоянно стремясь к центру - и это может. Точка Z может "выписывать" даже какие-то спирально-сходящиеся ветви, может повторять все формы, которые только возможно увидеть во множестве Мандельброта. Именно характер поведения орбит и ее формы определяют все формы и самого фрактала. Так что можно даже, исследовав характер поведения орбиты в окрестности некой точки C(x,y), понять, какая окрестность здесь у самого фрактала, как выглядить эта окрестность, если ее нарисовать на компьютере.

Конечно, все это то, что я сказал, слова и довольно трудно представить, как все выглядит на практике... Внизу даны несколько экземпляров орбит. Номера точек не указаны, чтобы не загромождать пространство.

Фрактал Мандельброта в приближении

Названия видам орбит я давал собственные. Самая простая - экспоненциальная, эта точка находится близко от края "черенка кувшинки" (вообще, лемнискаты), который, действительно, похож на экспоненту. Характер следования линии сложно угадать по точкам, особенно если не знать последовательности их "раскручивания". На рисунке 1 показана "спиральная" орбита, но я уверен, что эта спираль не одна, вторая же раскручивается за пределами окружности (которая, как известно, в радиусе равна 2), поэтому характер этой окрестности похож на спираль. Трудно опознать 2-й рисунок, а вот 4-й - это очень красивые "галактические завихрения", которые очень часто и отчетливо проглядываются в верхней левой стороне множества (черной поверхности). Эти завихрения похожи на сходящуюся в одной точке спираль, на которой "навешено" еще такое же количество спиралей, и т.д. Очень красивое зрелище! Потому я и люблю алгебраические фракталы, но их сложно как-то классифицировать, у них самоподобие выражается очень сильно.

В принципе, фрактал создать несложно. Нужно лишь так придумать формулу, чтобы точка Z(x,y) металась в хаосе, то стремясь попасть в зону окружности, то "выскакивая" из нее совершенно неожиданно... Конечно, тогда фигура, вырисовывающаяся на экране компьютера, будет фрактальным множеством с самодобием.

Почему же самоподобием? Конечно, ответ не так легок, я не знаю точно, но если довериться своей математической интуиции, предполагаю, что самоподобие заключается в том, что формула, по которой строится алгебраический фрактал, уже есть образец, по которому весь фрактал и выполнен. Потому что, задавая точку C = x + y*i и проходя в некотором количестве итераций, в каком-то смысле, исход ее предрешен - она попадет в то или иное место не случайно. Причем, различные области дают различный результат (то есть, орбиту), но всегда найдется, как я считаю, области, в котором результат будет почти одинаков, а потом еще более мелкие области, еще, еще... и так бесконечно. Хотя доказательств я привести не могу, есть очень точные эмпирические данные на этот счет - сам феномен фрактала. Доказательство знают математики, а мне лишь остается разводить руками и пожимать плечами :) теряясь в догадках... Впрочем, на этом все!


* Фрактальное множество. Фрактальное - от слова "fractus" - "раздробленный", лат. и множество - это есть набор всевозможных точек, которые разрешены. Например, множество целых чисел - это числа ... -2, -1, 0, 1, 2 и т.д. Только числа (или элементы) принадлежат множеству целых чисел, а вот множество натуральных чисел принадлежит множеству целых только отчасти, как бы "входит" в это множество. Фрактальное множество не может быть завершено, как все остальные множества, потому что возможное количество его элементов невозможно пересчитать или как-то обозначить...