На самом деле, все достаточно просто, но для начала рассмотрим, как выглядит сам ряд Фурье и что он из себя представляет:
Также ряд Фурье еще есть в комплексной плоскости и представляется немного иначе, но здесь я рассматриваю лишь тригонометрический ряд для удобства. В комплексной плоскости вычисление коэффициентов получается по почти тому же самому принципу.
Здесь и – коэффициенты к ряду, их требуется высчитывать, чтобы разложить в ряд, например, получить ряд вида:
§ Расчет нулевого коэффициента
Перед подсчетом коэффициента необходимо и обязательно:
Шаг 1. Домножить уравнение на или , где является индексом коэффициента от 0 до n
Шаг 2. После проинтегрировать левую и правую часть уравнения по диапазону
Вычислим 0-й коэффициент, потому домножим левую и правую часть уравнения на , где k = 0:
Как я ранее доказывал, для определенного интеграла и , а также где на диапазоне интеграла, понятное дело , и потому вся сумма справа обращается в 0 (поскольку k=1,2,3...) и останется только рассчитать простое выражение:
Это лишь означает то, что:
Иными словами, для того, чтобы вычислить коэффициент для функции, интегрируемой на диапазоне нужно рассчитать определенный интеграл для этой функции и поделить ее на . Но это лишь только нулевой коэффициент!
§ Расчет остальных коэффициентов
Для расчета остальных коэффициентов будем пользоваться точно тем же самым методом, то есть, чтобы рассчитать , надо домножить на , а чтобы рассчитать , надо домножить на . Почему так получается, уже ранее я говорил – из-за ортогональности функции. То есть, при расчете интегралов в сумме ряда Фурье останутся лишь только те интегралы, которые будут того же самого k, что и коэффициент, и они будут равны . Давайте посмотрим на примере расчета коэффициента k=1:
Стоит обратить внимание на коэффициент . Поскольку при интегрировании получаем , а определенный интеграл синуса (и косинуса тоже) на даёт 0 – это можно проверить самостоятельно. Также, если вспомнить, что говорилось ранее по поводу интегрирования ортогональной функции с синусами и косинусами, то в итоге останется только вот это:
Поскольку определенный интеграл от квадрата косинуса или синуса будет всегда равен (доказывалось ранее).
Итак, что можно увидеть:
Если же ряд Фурье домножить на то будет примерно то же самое, но останется другой коэффициент
§ Общая формула для любого k
Вообще, так можно сделать с любым целочисленным k:
Таким образом, мы получим все необходимые коэффициенты к ряду Фурье. Стоит однако отметить, что вычислить такие коэффициенты не так и просто бывает, потому что нужно взять интеграл, как-никак, и причем от тригонометрической функции, что само по себе является интереснейшим занятием.
§ Пример расчета
Давайте попробуем вычислить ряд Фурье . Поскольку я не хочу перегружать материал лишними выводами, а нужен только результат, я просто возьму Wolframalpha и проведу расчет интеграла для и :
Сразу можно сделать вывод, что коэффициенты равны нулю и что их можно не учитывать. Также стоит заметить, что во второй части будет всегда равняться нулю, поскольку k является целочисленным. Это упростит формулу расчета коэффициентов:
А теперь подставим в ряд Фурье коэффициенты и получим
Теперь раскроем ряд, получив такую последовательность