Фантазии о Вселенной и мой личный сайт
Вывод метода Крамера

Вывод метода Крамера

Для двух неизвестных x, y.

Как-то я задумался о том, как бы вывести формулы Крамера, и понять вообще, почему это так выводится, а не иначе. Итак, у нас есть 2 неизвестных x, y в виде системы линейных уравнений, допустим: $$ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases} $$

Собственно, тут действует такое интересное правило: если оба уравнения сложить, то можно их превратить в одно. А еще можно домножить уравнение на какое-то число. Ну вообще оно понятно, например, возьмем то, что, \(a_1 + b_1 = c_1 + d_1\), собственно, а другое будет \(a_2 + b_2 = c_2 + d_2\). Казалось бы, они совершенно никак не связаны, и это так. Дело в том, что левая часть уравнения равна правой, очевидно, как бы. И если дополнить левую и правую часть любым числом, то они все равно будут равны: \(a + C = a + C\). Так вот, теперь давайте дополним первое уравнение числом, которое равно, то есть, вторым уравнением - там ведь левая и правая часть равны. $$ a_{11}x + a_{12}y + (a_{21}x + a_{22}y) = b_1 + (b_2) $$ Вот тут легко видеть, что дополненную часть можно просто сократить, т.е. их можно удалить, и ничего не будет изменяться, потому что обе эти части – равны. Мы так же можем легко умножить обе части уравнения на какое-то определенное число, и уравнения все равно будут верны.

Давайте так и сделаем. Поскольку нам нужно найти неизвестное \(x\), то требуется избавиться каким-то образом от \(y\), и поэтому придется идти на некоторые математические трюки, а именно - мы умножаем одно из уравнений на определенное число так, что при сложении двух уравнений \(y\) исчезнет, потому что прибавится к отрицательному значению самого себя: $$ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ -\frac{a_{12}}{a_{22}}(a_{21}x + a_{22}y) = -\frac{a_{12}}{a_{22}}b_2 \end{cases} $$ Теперь немного раскроем скобки: $$ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ -\frac{a_{12}a_{21}x}{a_{22}} - a_{12}y = -\frac{a_{12}}{a_{22}}b_2 \end{cases} $$ После сложения двух уравнений, у нас удалится \(y\): $$ a_{11}x -\frac{a_{12}a_{21}x}{a_{22}} = b_1 - \frac{a_{12}}{a_{22}}b_2 $$ Домножим теперь на \(a_{22}\) обе части уравнения: $$ a_{11}a_{22}x - a_{12}a_{21}x = b_1a_{22} - a_{12}b_2 $$ Вот тут превосходно видно, что можно вынести \(x\) за скобки и найти сам \(x\): $$ x = \frac{b_1a_{22} - a_{12}b_2}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} $$ Вот и все. Совершенно аналогичным образом выводится формула и для \(y\). $$ y = \frac{a_{11}b_2 - b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} $$

Как нетрудно заметить, верхнее и нижнее отношение - это определители матриц.

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix}, x = \frac{\begin{vmatrix} b_{1} a_{12} \\ b_{2} a_{22} \end{vmatrix}}{\Delta}, y = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} b_{1} \\ a_{21} b_{2} \end{vmatrix}}{\Delta} $$