Итак, что в итоге получилось? Сейчас я обращу внимание на то, что у коэффициентов v0, v1, v2 – находится сумма квадратов. А что такое ? Это косинусы ведь.
Дело в том, что сумма этих косинусов по дискретным отсчета это значение интеграла:
Поскольку значение – это константа, поскольку она не меняется при суммировании, то видно, что функция то может быть ортонормирована! Просто необходимо домножить константу в косинусе на .
И выходит, что результат получается равным для любого . В данном случае в качестве выступает номер вектора, который вычисляем.
Еще одна особенность, что при интеграл будет равен .
Теперь рассмотрим два других компонента:
v1*(m01*m00 + m11*m10 + m21*m20)
v2*(m02*m00 + m12*m10 + m22*m20)
Как видно, они подчиняются правилу:
Где – это номер элемента вектора, который считаем (здесь константа), и – номер компонента, тоже константа. И получается что:
Где . Аналогично, если привести в тот же ортонормированный вид, то получится 0, всегда 0, из-за свойства ортонормированности. Это означает, что при перемножении на такую матрицу и умножении ее снова на ту же, получим одно и то же одинаковое значение входящего вектора.
Естественно, это все доказано так себе, но хотя бы общее представление теперь у меня имеется, почему именно оно так работает.
Поскольку, если применять формулу вычисления, которая получилась выше, то для новых коэффициентов получатся значения (выше показано, что интеграл при a = 0 равен n), и также
Чтобы этого избежать, коэффициенты как раз и домножаются на для нулевого , и для всех остальных.