Рассмотрим иллюстрацию, где зеленым закрашен параллелограмм, заданный двумя векторами и . Задача в том, чтобы рассчитать его площадь.

Темно-серой областью выделен сам параллелограмм, серой – области, находящиеся вне его, но внутри прямоугольника, образованного путем умножения .

Расчет площади параллелограмма здесь достаточно прост, для начала надо вычислить общую площадь всего прямоугольника, в который входит этот параллелограмм, а потом вычесть серые области.

На картинке ясно видно, что общая площадь серых треугольников равна (поскольку их два). Теперь обратим внимание на то, что существуют четыре прямоугольных треугольника со сторонами Ax и Ay, а также Bx и By. Площади прямоугольных треугольников равны:

Однако, поскольку их по двое, то получается, что общая площадь всех закрашенных серым цветом прямоугольных треугольников равна:

Теперь мы знаем все площади, которые окружают параллелепипед, пришло время найти его сам. Сам же он будет равен тому, что останется после вычитания из площади прямоугольника, в который он вписан, минус площади областей, которые только что были найдены:

Как можно заметить, полученное выражение является определителем матрицы