Как-то я уже ранее писал статью про то, как что и зачем вычисляется, но тут еще раз повторю снова. Математики и экономисты предыдущих столетий, утраченных и потраченных, задались вполне резонным вопросом – какие могут быть максимальные проценты, чтобы получить максимальную прибыль? И начали считать это дело.
Второй замечательный предел выглядит вот таким образом:
Как можно заметить, тут число стремится к бесконечности, но при этом, хоть и стремится, но все же получается все более точное число .
Вообще, так говоря между нами, экспонента, это просто функция, причем она называется показательная, у которой основание – особое число, называемое числом Эйлера, или число . Показательная функция еще по-другому называется "степень", у которой есть определенное основание и аргумент.
В целом говоря, вот что является экспонентой, и это реальный факт. Число , лежащее в основе экспоненты, равно вот этому значению (приблизительно):
Конечно, это всего лишь приближенное значение, или первые 1000 знаков. Надеюсь, их хватит на всё. Естественно, точность может быть сколько угодно бесконечной, но на самом деле хватает и 10 знаков после запятой.
§ Банковские счета
А теперь к главному. Представим на мгновение невозможную ситуацию, которая произошла в параллельной Вселенной, где всё происходит по странным обстоятельствам. Некий неизвестный пришел в банк с целью заработать немало денег на процентной ставке. Он подходит к столу, уверенно ложит сто условных единиц на стол и гордо заявляет:
— Вы говорили, что у вас 100% годовые!
Ему на это отвечают, что он вроде как и с дубу рухнул, и вроде как и нет, но потом, заглянув в положение от Самого, они поняли, да, есть такой прикол. И спрашивают, кто это перед ними. И он отвечает, что это он Сам. Ну естественно, поклоны, преклоны, поцеловали ступню, как положено по форме, но подробности опустим и перейдем к делу. Пришел банкир, директор, бухгалтер и стали считать.
— Если вы положите 100 у.е. на счет, через год у вас будет 200. Почему? Потому что 100% прибыли.
— Согласен, – ответил он. – У меня будет 200 у.е., ибо 100 у.е. на 100% это еще 100. Но я слишком жадный, и мне мало такого. Необходимо больше золота.
— И что вы предлагаете? – удивленно ответили все. – Ведь у нас 100% годовых и так уже зашкаливает за все возможные рамки.
Клиент вытащил калькулятор и хитро ухмыльнулся. Банкиры переглянулись и поняли – сейчас начнется.
— Итак, – говорит он. – Раз я не могу поднять планку выше 100%, то тогда давайте договоримся так. Вы будете выплачивать мне 50% раз в полгода.
— Тогда получается, – хмыкнул бухгалтер, – что в первые полгода от 100 у.е. вам придет 50 у.е., и будет 150 у.е в первые полгода.
— Все так, – ответил хитрый барыга, – а теперь смотрите, во вторые полгода, – он нажал несколько кнопок на калькуляторе, – уже от 150 у.е. будет еще половина, правильно? А это дополнительные 75 у.е.
— Что по итогу дает 225 у.е...
Клиент довольно потирал руки. У него был план.
— А теперь, – заявил он, – давайте по 25% каждые 3 месяца, или 4 раза в год начислять проценты.
— Так, – теперь уже бухгалтер судорожно схватился за калькулятор. Испарина вышла на его лысыне. – Значит, 100 умножаем на 125%, или на 1.25, потом еще раз умножаем на 1.25, еще на 1.25, еще на 1.25, и получаем примерно... 244. Что на 19 больше, чем при 50%.
Лица у присутствующих были каменные, словно у статуй моаи.
— Я слышал, периодов у вас можно сделать сколько угодно, – продолжал клиент. – Хоть бесконечно.
— Можно... – слегка побледневшими губами произнес директор. – Я кажется, понял, в чему вы клоните. Но вам не удастся нас обмануть!
— Почему бы и нет? Возьмите период в 100 отсчетов.
Тут все резко начали чесать свою репу.
— Нам нужен математик, – наконец, сказал кто-то из персонала. – Ста-а-а-ас! Поди ко мне, помощь нужна.
Из какой-то кабинки лениво вылез тыжпрограммист. Он небрежно почесал бородатый подбородок и нахмурился.
— Что надо? Опять принтер сломался?
— Нет, тут кое-что похуже. Надо кое-что вычислить, а ты у нас спец по математике.
— Да какой я спец, но ладно, что у вас там?
— Тут клиент просит посчитать капитализацию за 100 периодов отчета.
— Пожалуйста, русскими словами, я ничего не понял, – ответил Стас. – Что надо сделать?
— Надо пересчитать 100 периодов, что тебе непонятно то, – нахмурился директор. – Давай считай, а то зарплату снижу.
— Ага, у меня такая прямо зарплата, – ворчливо ответил Стас, но подчинился.
Он сел за комп и стал думать. Значит, если всего отчетов 2, то получается, что начисления процентов происходят два раза в год по 50%. Если начислений 4, то 4 раза в года по 125%. Если же 10, то тогда 10 раз в год по 110%. Отслеживается зависимость, проценты равны , где N – количество раз для начисления.
При каждом начислений, исходная сумма умножается на этот процент. А всего начислений N. Чтобы это значило... Допустим, предположил Стас, у нас была сумма A. Через период она будет умножена на заданный процент, то есть A * P, где P это процент. Поскольку считать в процентах не очень удобно, нужно перейти к долям. То есть вместо 150% писать 1.5, разделив проценты на 100.
Так, клиент имел A = 100, допустим, количество периодов N=4. Значит, что 100%, деленное на 4, будет 125%, или 1,25.
A * 1,25 = A1
A1 * 1,25 = A2
A2 * 1,25 = A3
A3 * 1,25 = Итог
Попробуем разложить так: A*1.25*1.25*1.25*1.25. Ага, ясно, это же степень ! А что если сделать так, проценты выразить через вот такую вот формулу:
То есть при N=1 будет p=2, при N=2 будет p=1.5, при N=4 будет P=1.25 и так далее.
Да, это так, но как получается, что надо будет эти проценты возвести в степень N:
И получится итоговое значение. Ну что же, давайте считать. Клиент сказал N=1000, A=100:
— Я закончил. Короче, будет коэффициент 2.71692 и так далее.
Директор покачал головой и с опаской посмотрел на клиента. Тот спросил:
— А сколько будет если я положу вклад на 1 000 000 (один миллион) отсчетов?
Прогер нехотя зашел на сайт wolframalpha.com и сосчитал:
Все облегченно вздохнули, изменения были небольшие. Потом они считали для все большего и большего количества отсчетов, но это число не увеличивалось так резко, как было изначально, а приближалось к некоторому определенному числу.
И это число называется число Эйлера.
Клиент решил остановиться на 1 млн отсчетах, поскольку банк не позволил ему сделать максимум бесконечности, ибо там уже оборзение совсем уж полное приключилось. Стасу пришлось повысить мизерную зарплату, потому Сам поблагодарил его за калькуляцию калькуляторных калькуляторов.
Да и сам клиент ушел довольным.
— Да он нас нагрел на 171%, – сокрушался директор. – Пожалуй, исключите этот пункт про 100%, сделайте 4% годовых и капитализацию раз в месяц.
Тем самым образом паралелльная реальность стала перпендикулярной.
§ Приближение
2 = = 2 при x=1
2,59374246010 ~= при x=10
2,70481382942 ~= при x=100
2,71692393224 ~= при x=1000
2,71814592682 ~= при x=10000
Как видим, число все уточняется и уточняется и будет уточняться бесконечно. Вычислить число нельзя в принципе, потому что оно имеет бесконечное число знаков после запятой.
§ Выводы
Вот собственно, все что я могу сказать про второй замечательный предел. Тут у него есть несколько замечательных выводов, которые не нужны, так что о них говорить буду немного.
Например, есть функция , которую называют экспонентой. Чтобы в экспоненте найти , нужно получить логарифм по основанию во так .