Фантазии о Вселенной и мой личный сайт
Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Очень простая прогрессия от 1 до N.

Начну я так. В далеком прекрасном детстве мы все любили ходить по разным стройкам, заброшенным зданиям и заводам, и собирать брошенные подшипники. Вот и я тоже вместе с друзьями ходил по одному разваленному заводу, где мы насобирали кучу подшипников. Когда я пришел домой, я начал их, по своему обыкновению, раскладывать в пирамидку на столе. На самом верху пирамиды у меня был 1 подшипник, ниже - 2, еще ниже 3 и так далее. Тут я задумался... а как быстро подсчитать количество подшипников, зная количество рядов у пирамиды?

Вот на этом месте меня пробрало, я взял ручку, тетрадку и стал сильно думать. Думал я дня 3, пока, наконец, полностью не понял, как это все дело работает. Вот тут я расскажу, как я дошел до такого вывода.

Вместо пирамиды я разложил в треугольник:

     
     
     
     
     

Вот я тут увидел, что очень даже легко можно взять и вычислить половину от площади квадрата, и разделить на 2, чтобы получить половину площади... но, тут не было так, чтобы можно было это просто так взять и сделать! Потому что я делил бы каждый внутренний квадрат еще бы на 1. Надо было найти какую-то коррекцию...

Я долго думал и прикидывал, пока, наконец-то, до меня не дошло. Дело в том, что если мы возьмем квадрат со стороной 2, к примеру, то каждые +2 будет добавляться по 1 новому квадратику.

  
  

Вот тут, например, если разделить 2 внутренних квадратика, то в итоге мы получил (половину + половину) квадрата, а это равен одному!

Давайте еще раз рассмотрим первый треугольник. Если мы найдем вычислим квадрат и разделим на 2, то мы получим площадь, равную половине этого треугольника, но мы видим, что на каждый добавленный n+1 у нас в треугольнике добавляется половина, а это значит, чтобы найти правильную площадь, мы должны еще к квадрату добавлять еще и n/2, чтобы компенсировать.

Вот какая формула у меня в итоге вышла:

$$ S = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} = \frac{n^2 + n}{2} $$

Я был невероятно счастлив! Она работала!

$$ S_1 = \frac{1^2 + 1}{2} = 1 \\ S_2 = \frac{2^2 + 2}{2} = 3 \\ S_3 = \frac{3^2 + 3}{2} = 6 \\ S_4 = \frac{4^2 + 4}{2} = 10 \\ S_5 = \frac{5^2 + 5}{2} = 15 $$

И так далее. А поскольку у меня было 15 подшипников, то я проверил сначала только на них. И все сошлось. Я был очень рад и пытался потом всем рассказывать о своем достижении. Уже позже, в старших классах, я узнал, то, что я нашел, является частным случаем африметической прогрессии.