Начну я так. В далеком прекрасном детстве мы все любили ходить по разным стройкам, заброшенным зданиям и заводам, и собирать брошенные подшипники. Вот и я тоже вместе с друзьями ходил по одному разваленному заводу, где мы насобирали кучу подшипников. Когда я пришел домой, я начал их, по своему обыкновению, раскладывать в пирамидку на столе. На самом верху пирамиды у меня был 1 подшипник, ниже - 2, еще ниже 3 и так далее. Тут я задумался... а как быстро подсчитать количество подшипников, зная количество рядов у пирамиды?
Вот на этом месте меня пробрало, я взял ручку, тетрадку и стал сильно думать. Думал я дня 3, пока, наконец, полностью не понял, как это все дело работает. Вот тут я расскажу, как я дошел до такого вывода.
Вместо пирамиды я разложил в треугольник:
Вот я тут увидел, что очень даже легко можно взять и вычислить половину от площади квадрата, и разделить на 2, чтобы получить половину площади... но, тут не было так, чтобы можно было это просто так взять и сделать! Потому что я делил бы каждый внутренний квадрат еще бы на 1. Надо было найти какую-то коррекцию...
Я долго думал и прикидывал, пока, наконец-то, до меня не дошло. Дело в том, что если мы возьмем квадрат со стороной 2, к примеру, то каждые +2 будет добавляться по 1 новому квадратику.
Вот тут, например, если разделить 2 внутренних квадратика, то в итоге мы получил (половину + половину) квадрата, а это равен одному!
Давайте еще раз рассмотрим первый треугольник. Если мы найдем вычислим квадрат и разделим на 2, то мы получим площадь, равную половине этого треугольника, но мы видим, что на каждый добавленный n+1 у нас в треугольнике добавляется половина, а это значит, чтобы найти правильную площадь, мы должны еще к квадрату добавлять еще и n/2, чтобы компенсировать.
Вот какая формула у меня в итоге вышла:
Я был невероятно счастлив! Она работала!
И так далее. А поскольку у меня было 15 подшипников, то я проверил сначала только на них. И все сошлось. Я был очень рад и пытался потом всем рассказывать о своем достижении. Уже позже, в старших классах, я узнал, то, что я нашел, является частным случаем арифметической прогрессии.