Еще одно важное свойство при вычислении ряда Фурье является то, что тригонометрические функции ортонормированы также и на диапазоне [0,2\pi] , поскольку это представление наиболее удобно. Вывод формул интегралов делался в предыдущей статье.
Доказательство 1. SINA COSB
\int_{0}^{2\pi} sin\,ax\,cos\,bx\,dx = -\frac{b sin\,ax\,sin\,bx + acos\,ax\,cos\,bx}{a^2-b^2}|_{0}^{2\pi} = \frac{a}{a^2-b^2}(cos\,2\pi a\,cos\,2\pi b - cos\,0\,cos\,0) = 0
Часть с синусами исчезает сразу, поскольку синус любого угла, кратного 2\pi будет равен 0. Косинус же любого угла, кратного 2\pi , будет равен 1, то есть, получается что итоговый результат будет равен 0 при любом a,b .
Доказательство 2. SIN2A и COS2A
Так как формула ранее была выведена, то просто стоит подставить другие пределы:
\int_{0}^{2\pi} sin^2\,ax\,dx = \frac{x}{2}|_{0}^{2\pi} - \frac{sin\,2ax}{4a}|_{0}^{2\pi} = \pi
\int_{0}^{2\pi} cos^2\,ax\,dx = \frac{x}{2}|_{0}^{2\pi} + \frac{sin\,2ax}{4a}|_{0}^{2\pi} = \pi
И по итогу выйдет тоже самое, то есть синус от любого угла, кратного 2\pi , равен 0, т.е. правая часть исчезает, и остается лишь только \pi . Все верно. То есть здесь просто применена та же самая формула, но с другими пределами. Совершенно аналогично действует функция cos - здесь просто поменялся знак перед синусом, но это ничего не меняет и результат как был, так и остался равным \pi .
Доказательство 3. SINA SINB | COSA COSB
Не стану долго заморачиваться и сразу же напишу определенный интеграл от выражения
\int_{0}^{2\pi} sin(ax)sin(bx)\,dx = \frac{sin\,(a-b)x}{2(a-b)}|_{0}^{2\pi} - \frac{sin\,(a+b)x}{2(a + b)}|_{0}^{2\pi} = 0
\int_{0}^{2\pi} cos(ax)cos(bx)\,dx = \frac{sin\,(a-b)x}{2(a-b)}|_{0}^{2\pi} + \frac{sin\,(a+b)x}{2(a + b)}|_{0}^{2\pi} = 0
Здесь, как можно заметить, везде используются синусы и каждый синус либо кратен 2\pi , либо равен 0, то по итогу дает везде 0. В случае с косинусом меняется лишь только знак перед синусом, что, ясное дело, не меняет ничего.
Я рассказал о том, что функция ортонормирована на участке [0,2\pi] и это хорошо. Это потребуется для дискретного преобразования Фурье.
20 мая, 2020
© 2007-2022 Муть в том, что Алиса взлетает птицей