Еще одна интересная задачка, которую я обнаружил еще в молодости.
Я вообще, любитель поиграться с калькулятором. Мне нравится просто сидеть и чего-то там считать
интересное. И вот сидел как-то, и вычислял квадраты, записывал их последовательно, и мне стало интересно, а нет ли какой-нибудь закономерности у них?
Поэтому стал вычислять разность между соседними цифрами квадратов:
Вот на этот моменте я понял, что прибавляя нечетное число, которое увеличивается каждый раз на +2, мы получаем нужный нам квадрат! Это очень меня обрадовало тогда, я считал, что нашел какое-то крутое решение.
И мне стало интересно, почему же так получается? Возьмем квадрат, где всего лишь закрашен 1x1 прямоугольник:
Понятное дело, что это будет 1². Также можно посмотреть, что будет, если сделать 2²
Если немного внимательнее посмотреть, то, чтобы получить следующий квадрат 3², то к квадрату 2 надо
добавить справа 2 новых квадратика и снизу 2 (помечены красным цветом), и еще плюс 1 оставшийся в нижнем правом углу:
Аналогично, и для того, чтобы получить 4, надо добавить +3 справа и +3 снизу, и +1 сбоку.
Как мы видим, количество добавлений увеличивается на +2, то есть если надо было добавить (2+2+1), а в следующем (3+3+1), то разность (3+3+1) - (2+2+1) = 2 всегда. То есть:
И эта дельта всегда равна 2, а значит, каждое новое значение квадрата будет добавлять +2.
Приращение квадратов на каждом шаге равно .
На самом же деле все было гораздо проще:
А для кубов так:
Тут можно высчитывать сколько угодно.