Информатика / математика и код

Вычисление квадратов через сложения

Еще одна интересная задачка, которую я обнаружил еще в молодости.

Я вообще, любитель поиграться с калькулятором. Мне нравится просто сидеть и чего-то там считать интересное. И вот сидел как-то, и вычислял квадраты, записывал их последовательно, и мне стало интересно, а нет ли какой-нибудь закономерности у них?

$$ 1^2 = 1; \ 2^2=4; \ 3^2=9; \ 4^2=16 ... $$

Поэтому стал выислять разность между соседними цифрами квадратов:

$$ 4-1 = 3; \ 9-4=5; \ 16-9=7; \ 25-16=9 ... $$

Вот на этот моменте я понял, что прибавляя нечетное число, которое увеличивается каждый раз на +2, мы получаем нужный нам квадрат! Это очень меня обрадовало тогда, я считал, что нашел какое-то крутое решение.

И мне стало интересно, почему же так получается? Возьмем квадрат, где всего лишь закрашен 1x1 прямоугольник:

Понятное дело, что это будет 12. Также можно посмотреть, что будет, если сделать 22

Если немного внимательнее посмотреть, то, чтобы получить следующий квадрат 32, то к квадрату 2 надо добавить справа 2 новых квадратика и снизу 2 (помечены красным цветом), и еще плюс 1 оставшийся в нижнем правом углу (серым):

Аналогично, и для того, чтобы получить 4, надо добавить +3 справа и +3 снизу, и +1 сбоку.

Как мы видим, количество добавлений увеличивается на +2, то есть если надо было добавить (2+2+1), а в следующем (3+3+1), то разность (3+3+1) - (2+2+1) = 2 всегда. То есть:

$$ \Delta = ((n_i + 1) + (n_i + 1) + 1) - (n_i + n_i + 1) = 2 $$

И эта дельта всегда равна 2, а значит, каждое новое значение квадрата будет добавлять +2. Приращение квадратов на каждом шаге равно \( 2n + 1 \).

На самом же деле все было гораздо проще:

$$ \Delta_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 $$

А для кубов так:

$$ \Delta_n = (n+1)^3 - n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n(n + 1) + 1 $$

Тут можно высчитывать сколько угодно.