§ Вывод ряда

Формула оказывается просто элементарной, когда ты знаешь, как это делать. Тейлор доказал, что почти любую функцию можно разложить вот в такой вот ряд:
Если мы возьмем (это называется "окрестность точки "), то это будет называться рядом Маклорена.
Вот его и будем брать как раз, потому что это наиболее удобно. Итак, если дифференцировать левую и правую часть, то можно получить все равно правильное уравнение. И нам надо узнать значения коэффициентов .
Для начала, посмотрим, что у нас будет в , для этого надо найти . Почему именно 0? Поскольку не важно, где мы будем искать, нам нужны именно коэффициенты , а если сделать , то тогда все просто обнулятся, и получаем такую формулу:
Это легко увидеть, просто подставив и рассчитав весь ряд. Так что, чтобы вычислить первый коэффициент, надо лишь только найти значение нашей функции в точке 0. Ищем далее. Дифференцируем первый раз:
Вычислим, что будет у нас в точке 0:
Как видим, будет почти что тоже самое, но не совсем! На самом деле тут оно выглядит так:
Продолжаем дифференцировать, второй раз:
Начинает вырисовываться очень интересная картинка. Стоит обратить внимание на то, что происходит в конце, а именно - это начинает быть похожим на функцию факториала , что на самом деле так и есть. В итоге, что имеем:
И снова, берем третий раз:
Как можно легко увидеть, чтобы получить любой коэффициент , надо вычислить следующее:
То есть, надо дифференцировать раз и разделить на
В итоге, получится следующее, поставляя эти коэффициенты в приведенное уравнения рядом, имеем разложение в ряд Тейлора в окрестности точки :
Соответственно, если точка , то ряд будет попроще выглядеть:
Собственно, по этому методу можно много чего раскладывать в ряд, хотя и далеко не все можно разложить в такой ряд.