§ Вывод ряда

Формула оказывается просто элементарной, когда ты знаешь, как это делать. Тейлор доказал, что почти любую функцию P(x) можно разложить вот в такой вот ряд:
P(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + ... + a_{n}(x-a)^n
Если мы возьмем a = 0 (это называется "окрестность точки a "), то это будет называться рядом Маклорена.
P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_{n}x^n
Вот его и будем брать как раз, потому что это наиболее удобно. Итак, если дифференцировать левую и правую часть, то можно получить все равно правильное уравнение. И нам надо узнать значения коэффициентов a_n .
Для начала, посмотрим, что у нас будет в a_0 , для этого надо найти P(0) . Почему именно 0? Поскольку не важно, где мы будем искать, нам нужны именно коэффициенты a_n , а если сделать x = 0 , то тогда все a_1\ ... a_n просто обнулятся, и получаем такую формулу:
P(0) = a_0
Это легко увидеть, просто подставив x = 0 и рассчитав весь ряд. Так что, чтобы вычислить первый коэффициент, надо лишь только найти значение нашей функции в точке 0. Ищем далее. Дифференцируем первый раз:
P'(x) = a_1 + 2a_2x + ... + na_{n}x^{n-1}
Вычислим, что будет у нас в точке 0:
P'(0) = a_1
Как видим, будет почти что тоже самое, но не совсем! На самом деле тут оно выглядит так:
a_1 = \frac{P'(0)}{1!}
Продолжаем дифференцировать, второй раз:
P''(x) = 2a_2 + ... + n(n-1)a_{n}x^{n-2}
Начинает вырисовываться очень интересная картинка. Стоит обратить внимание на то, что происходит в конце, а именно n(n-1) - это начинает быть похожим на функцию факториала n! , что на самом деле так и есть. В итоге, что имеем:
a_2 = \frac{P''(0)}{2!}
И снова, берем третий раз:
P'''(x) = (1*2*3)a_3 ... + n(n-1)(n-2)a_{n}x^{n-3}
Как можно легко увидеть, чтобы получить любой коэффициент a_n , надо вычислить следующее:
a_n = \frac{P^{(n)}(0)}{n!}
То есть, надо дифференцировать n раз и разделить на n!
В итоге, получится следующее, поставляя эти коэффициенты в приведенное уравнения рядом, имеем разложение в ряд Тейлора в окрестности точки a :
P(x) = P(a) + \frac{P'(a)}{1!}(x-a) + \frac{P''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + \frac{P^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
Соответственно, если точка a = 0 , то ряд будет попроще выглядеть:
P(x) = P(0) + \frac{P'(0)}{1!}x + \frac{P''(0)}{2!}x^2 + ... + \frac{P^{(n)}(0)}{n!}x^n
Собственно, по этому методу можно много чего раскладывать в ряд, хотя и далеко не все можно разложить в такой ряд.
5 мая, 2020
© 2007-2022 Играет слабый компьютер