Фантазии о Вселенной и мой личный сайт
Ряды Маклорена

Ряды Маклорена

И Тейлора. Разложение экспоненты в ряд

Вывод ряда

Формула оказывается просто элементарной, когда ты знаешь, как это делать. Тейлор доказал, что почти любую функцию \(P(x)\) можно разложить вот в такой вот ряд: $$ P(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + ... + a_{n}(x-a)^n $$

Если мы возьмем \(a = 0\) (это называется "окрестность точки \(a\)"), то это будет называться рядом Маклорена. $$ P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_{n}x^n $$ Вот его и будем брать как раз, потому что это наиболее удобно. Итак, если дифференцировать левую и правую часть, то можно получить все равно правильное уравнение. И нам надо узнать значения коэффициентов \(a_n\).

Для начала, посмотрим, что у нас будет в \(a_0\), для этого надо найти \(P(0)\). Почему именно 0? Поскольку не важно, где мы будем искать, нам нужны именно коэффициенты \(a_n\), а если сделать \(x = 0\), то тогда все \(a_1\ ... a_n\) просто обнулятся, и получаем такую формулу: $$ P(0) = a_0 $$ Это легко увидеть, просто подставив \(x = 0\) и рассчитав весь ряд.

Так что, чтобы вычислить первый коэффициент, надо лишь только найти значение нашей функции в точке 0.

Ищем далее. Дифференцируем первый раз: $$ P'(x) = a_1 + 2a_2x + ... + na_{n}x^{n-1} $$ Вычислим, что будет у нас в точке 0: $$ P'(0) = a_1 $$ Как видим, будет почти что тоже самое, но не совсем! На самом деле тут оно выглядит так: $$ a_1 = \frac{P'(0)}{1!} $$

Продолжаем дифференцировать, второй раз: $$ P''(x) = 2a_2 + ... + n(n-1)a_{n}x^{n-2} $$

Начинает вырисовываться очень инетересная картинка. Стоит обратить внимание на то, что происходит в конце, а именно \( n(n-1) \) - это начинает быть похожим на функцию факториала \(n!\), что на самом деле так и есть.

В итоге, что имеем: $$ a_2 = \frac{P''(0)}{2!} $$

И снова, берем третий раз: $$ P'''(x) = (1*2*3)a_3 ... + n(n-1)(n-2)a_{n}x^{n-3} $$

Как можно легко увидеть, чтобы получить любой коэффициент \(a_n\), надо вычислить следующее: $$ a_n = \frac{P^{(n)}(0)}{n!} $$

То есть, надо дифференцировать \(n\) раз и разделить на \(n!\)

В итоге, получится следующее, поставляя эти коэффициенты в приведенное уравнения рядом, имеем разложение в ряд Тейлора в окрестности точки \(a\): $$ P(x) = P(a) + \frac{P'(a)}{1!}(x-a) + \frac{P''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + \frac{P^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$ Соответственно, если точка \(a = 0\), то ряд будет попроще выглядеть: $$ P(x) = P(0) + \frac{P'(0)}{1!}x + \frac{P''(0)}{2!}x^2 + ... + \frac{P^{(n)}(0)}{n!}x^n $$ Собственно, по этому методу можно много чего раскладывать в ряд, хотя и далеко не все можно разложить в такой ряд.


Разложение экспоненты в ряд

Это самая простая формула из всех возможных. Почему? Потому что как только не дифференцировать экспоненту, ее форма остается той же самой: $$ (e^x)' = e^x $$ А это значит, что: $$ a_n = \frac{P^{(n)}(0)}{n!} = \frac{e^0}{n!} = \frac{1}{n!} $$ Подставим коэффициенты в ряд Маклорена (Тейлора): $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... + \frac{x^n}{n!} $$

Это ряд сходится очень быстро в случае, если \(x \le 1\), и если подставить \(x = 1\), то можно получить значение экспоненты: $$ e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} $$

У этого ряда есть одна особенность - на его основе легко выводится формула Эйлера.


Получение формулы Эйлера

Чтобы получить эту формулу Эйлера, сначала надо найти разложение в ряд \(sin(x)\) и \(cos(x)\), и вспомнить о мнимой единице, что если умножить эту единицу саму на себя, то получим -1.

Разложим в ряд синус: $$ a_0 = sin(0) = 0 $$ $$ a_1 = \frac{sin'(0)}{1!} = \frac{cos(0)}{1!} = \frac{1}{1!} $$ $$ a_2 = \frac{sin''(0)}{1!} = -\frac{sin(0)}{2!} = 0 $$ $$ a_3 = \frac{sin^{(3)}(0)}{1!} = -\frac{cos(0)}{3!} = -\frac{1}{3!} $$ $$ a_4 = \frac{sin^{(4)}(0)}{1!} = \frac{sin(0)}{4!} = 0 $$

Как видим, начались повторения, и далее, при новом дифференцировании, будут снова эти последовательности.

В общем, примерно так:

$$ sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - ... = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{{x^{2n+1}}}{(2n+1)!} $$

Аналогичным методом раскладывается и косинус:

$$ cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \frac{x^{10}}{10!} + ... = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{{x^{2n}}}{(2n)!} $$

А теперь самое интересное - это получение формулы Эйлера. Итак, у нас есть экспонента, и возвести эту экспоненту требуется не просто во что-либо, а в степень \(ix\), то есть, мнимая единица, умноженная на x.

$$ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + ... + \frac{(ix)^n}{n!} $$

Как мы знаем, \(i^2 = -1\), значит, получим в итоге

$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} + ... $$

Объединим там, где \(i\):

$$ e^{ix} = (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...) + i(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...) $$

Мы видим, что слева - это ряд, который относится к косинусу, а там где коэффициент \(i\) - там синус.

$$ e^{ix} = cos(x) + isin(x) $$

Вот и все - всего лишь магия. И теперь напоследок, если \(x = \pi\), то:

$$ e^{i\pi} = cos(\pi) + isin(\pi) = -1 $$

Это и есть знаменитое тождество Эйлера:

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$