Фантазии о Вселенной и мой личный сайт
Сложение синусов для интерференции

Сложение синусов для интерференции

Для цифровой голографии нужен вывод формул для сложения синусов (либо косинусов) вида (формула 1):

$$ a_1sin(x + b_1) + a_2sin(x + b_2) = asin(x + b) $$

Циклические частоты возле \( x \) я не учитываю, поскольку подразумевается когерентность (одной частоты).

В итоговом результате нам надо узнать числа \( a \) и \( b \).


Расчет новой фазы

Необходимо найти такое число \(x\), чтобы \(a_1sin(x + b_1) + a_2sin(x + b_2) = 0\), а это значит, что и \(asin(x + b) = 0\), а поскольку так, то а таком случае ответ будет равен \(b = -x\), т.к. \(sin(x + b) = 0\) если \(x + b = 0\).

Мы просто ищем решение уравнения (то есть, корни) исходного уравнения. Но сначала разложим синус:

$$ sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) $$

То есть

$$ a_1(sin(x)cos(b_1) + cos(x)sin(b_1)) + a_2(sin(x)cos(b_2) + cos(x)sin(b_2)) = 0 $$

Приводим слагаемые:

$$ a_1sin(x)cos(b_1) + a_1cos(x)sin(b_1) + a_2sin(x)cos(b_2) + a_2cos(x)sin(b_2) = 0 $$ $$ sin(x)(a_1cos(b_1) + a_2cos(b_2)) = -(cos(x)(a_1sin(b_1) + a_2sin(b_2))) $$ $$ tg\ x = \frac{sin\ x}{cos\ x} = -\frac{a_1sin(b_1) + a_2sin(b_2)}{a_1cos(b_1) + a_2cos(b_2)} $$

Но поскольку \(b = -x\), то тогда надо нам искать так

$$ tg\ x = -tg\ b $$

Значит, убираем знак

$$ tg\ b = \frac{sin\ x}{cos\ x} = \frac{a_1sin(b_1) + a_2sin(b_2)}{a_1cos(b_1) + a_2cos(b_2)} $$

Чтобы найти \(b\), надо найти арктангенс. В общем-то и все.


Расчет амплитуды

Рассчитать амплитуду очень просто. Достаточно в формулу 1 подставить \(x = 0\) и найти \(a\):

$$ a_1sin(b_1) + a_2sin(b_2) = asin(b) $$

То есть:

$$ a = \frac{a_1sin(b_1) + a_2sin(b_2)}{sin(b)} $$

Вот и вся премудрость. И ведь, главное, это работает!