Рассмотрим иллюстрацию, где зеленым закрашен параллелограмм, заданный двумя векторами \vec{A} и \vec{B} . Задача в том, чтобы рассчитать его площадь.

Зеленой областью выделен сам параллелограмм, желтой и серой - области, находящиеся вне его, но внутри прямоугольника, образованного путем умножения S = (A_x + B_x)(A_y + B_y) .
Расчет площади параллелограмма здесь достаточно прост, для начала надо вычислить общую площадь всего прямоугольника, в который входит этот параллелограмм, а потом вычесть желтые и серые области.
На картинке ясно видно, что общая площадь серых треугольников равна Sg = 2B_xA_y (поскольку их два). Теперь обратим внимание на то, что существуют четыре прямоугольных треугольника со сторонами Ax и Ay, а также Bx и By. Площади прямоугольных треугольников равны:
S_1 = \frac{A_xA_y}{2}, S_2 = \frac{B_xB_y}{2}
Однако, поскольку их по двое, то получается, что общая площадь всех закрашенных желтым цветом прямоугольных треугольников равна:
St = 2S_1 + 2S_2 = A_xA_y + B_xB_y
Теперь мы знаем все площади, которые окружают параллелепипед, пришло время найти его сам. Сам же он будет равен тому, что останется после вычитания из площади прямоугольника, в который он вписан, минус площади областей, которые только что были найдены:
S - St - Sg = (A_x + B_x)(A_y + B_y) - 2B_xA_y - (A_xA_y + B_xB_y)
S = A_xA_y + B_xA_y + A_xB_y + B_xB_y - 2B_xA_y - A_xA_y - B_xB_y
S = A_xB_y + B_xA_y - 2B_xA_y = A_xB_y - A_yB_x
Как можно заметить, полученное выражение является определителем матрицы
S = \begin{vmatrix} A_x & A_y \\\ B_x & B_y \end{vmatrix}
17 мая, 2020
© 2007-2022 Жесть в том, что Алиса закусывает огурцом