Главная » Математика » Площадь круга, сектора и объем шара

§ Длина окружности

Круг — это весьма загадочное явление в математике. Длина окружности с радиусом 1 будет равна 2\pi , например. Как это доказать? Я не знаю точно, но если попробовать начать измерять длину окружности, то скоро будет заметно, что отношение длины окружности к радиусу будет равно как раз этому 2\pi .
То, как выводится длина окружности, существует множество доказательств. Но я тут доказывать не буду, потому что нет смысла. Могу лишь сказать, что длина окружности зависит от радиуса и равна 2\pi r где r - это радиус.
Скажу не к месту, но самое близкое приближение к числу \pi это отношение \frac{355}{113} . Оно было найдено в Древности и до сих пор никем не переплюнуто. Это самое короткое из самых возможных и точных сокращений. Потрясающе!

§ Площадь круга интегрированием

Начну (и закончу на этом) с самого легкого — интеграла. Интеграл это сумма бесконечно малых величин, и потому можно окружность поделить на треугольники со стороной к примеру dt и высотой r . Чтобы найти площадь этого треугольника, достаточно взять интеграл:
\int_0^{2\pi r} \frac{1}{2} r dt = \frac{1}{2} r t | _0^{2\pi r} = \frac{1}{2} r 2\pi r - 0 = \pi r^2
Вот и все доказательство.
Доказательства получше можно в Википедии прочесть.

§ Площадь сектора

Вот как раз для этого статья и писалась. Если мы берем сектор длиной 2\pi , то тогда этот сектор будет равен площади окружности, потому что этот сектор и есть окружность. Значит, если взять сектор длиной \pi , то в таком случае, он будет равен половине окружности. Из этого видно, что если a — это длина сектора в радианах, то \pi r^2 \frac{a}{2\pi} . Сделаю сокращения для числа \pi , и получится S = a \frac{r^2}{2}

§ Объем шара

Чтобы получить объем шара, достаточно проинтегрировать от -r до r все площади круга на этом участке. Получается что-то типа нарезания сендвича из очень маленьких кругов.
Радиус каждой окружности будет подчиняться следующему правилу:
y = \sqrt{r^2 - x^2}
Где y - это радиус окружности в точке x. Соответственно, вместо r в площади окружности подставляется y :
\pi r^2 = \pi (\sqrt{r^2 - x^2})^2 = \pi (r^2 - x^2)
Осталось только проинтегрировать от -r до r:
V = \pi \int_{-r}^r (r^2 - x^2) dx
Интегрируем это дело:
\pi \int_{-r}^r (r^2 - x^2) dx = \pi (r^2 x - \frac{x^3}{3})|_{-r}^r
Первая часть определенного интеграла:
r^2 x |_{-r}^r = r^2 r - r^2 (-r) = r^3 + r^3 = 2r^3 = \frac{6r^3}{3}
Я намеренно сделал умножение на 3, это будет нужно после вычисления второй части интеграла:
\frac{x^3}{3} |_{-r}^r = \frac{r^3}{3} - \frac{-r^3}{3} = \frac{2}{3}r^3
А теперь все в кучу складываю:
V = \pi \int_{-r}^r (r^2 - x^2) dx = \pi (\frac{6r^3}{3} - \frac{2 r^3}{3}) = \frac{4}{3} \pi r^3
Доказывать интегралами очень весело, когда ты понимаешь, что ты делаешь.
9 сен, 2022
© 2007-2024 Простая клавиша пропадала