§ Площадь треугольника

Сегодня пойдет разговор про вычисление различного рода объемов, площадей через интегралы. Мне показалась эта тема достаточно интересной и любопытной, и я захотел ее просто так рассмотреть, хотя никакого практического смысла она не имеет.
Для начала рассмотрю классический треугольник и как подсчитать площадь через формулу вычисления площади прямоугольных треугольников

Есть высота h и основание a . Треугольник состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами a_1 , a_2 и h . Формула вычисления площади прямоугольного треугольника простая S=\frac{ab}{2} . Подставим нужные значения S_1 = \frac{a_1h}{2} и S_2 = \frac{a_2h}{2} . Сложим S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2}(a_1 + a_2)h = \frac{1}{2}ah . Все доказано, собственно. Другим словами, получается что вычисление площади любого треугольника - это умножение его основания на высоту и деление на 2, т.е. тоже самое что вычисление площади прямоугольного треугольника.

А теперь рассчитаю через интеграл. Определенный интеграл - это площадь функции от a до b . Поскольку считаем треугольник, то считать будет прямоугольный треугольник, как ранее и было выведено. То есть, в точке x = 0 будет 0, а в точке x = h значение должно быть a (основание). Будет взят определенный интеграл \int_{0}^{h} f(x) dx . Функция, которую будем считать это f(x) = \frac{ax}{h} . Действительно, если x = 0 то f(0) = \frac{a 0}{h} = 0 , и f(h) = \frac{ah}{h} = a . Условия соблюдены.
S = \int_{0}^{h} \frac{ax}{h} dx = \frac{ax^2}{2h} |_{0}^{h} = \frac{ah^2}{2h} = \frac{1}{2}ah
Вот и все, что надо было знать про треугольники.

§ Объем прямоугольной пирамиды

На самом деле, объем пирамиды считается точно тем же самым способом, что и считается площадь треугольника, просто изменяется функция подсчета. Для пирамиды в ее вершине, как и треугольнике, должна быть f(0) = 0 , но в основании функция должна принять вид f(h) = a^2 , т.е. площадь квадрата. Но функция получается не совсем линейная. В точке x = \frac{h}{2} функция должна описывать S(\frac{h}{2}) , т.е. получается что f(x) = S(x) на самом-то деле. Значит, получается так S(x) = x^2 . Но нам нужно сделать так, чтобы в x = h было S(h) = a^2 , поэтому итоговой функцией будет f(x) = \frac{(ax)^2}{h^2} . Проверим. Очевидно что в x = 0 будет 0. Теперь проверим, что будет при x = h :
f(x) = \frac{(ah)^2}{h^2} = \frac{a^2h^2}{h^2} = a^2
Все верно. Считаем интеграл:
V = \int_{0}^{h} \frac{(ax)^2}{h^2} dx = \frac{a^2x^3}{3h^2} |_{0}^{h} = \frac{a^2h^3}{3h^2} = \frac{1}{3}a^2h
Причем тут a^2 - это именно основание пирамиды, и оно может быть вообще любым. Так что можно переписать следующим образом и это будет правильно:
V = \frac{1}{3}Sh
23 июн, 2020
© 2007-2022 Фиговая фигня пропадала