§ Синус и косинус

Это тождество напрямую связано с теоремой Пифагора. Для начала, надо вспомнить, что такое синус и косинус. Но перед этим, конечно же, надо взглянуть на картинку с прямоугольным треугольником:

Дело в том, что:

• Синус угла альфа в точности равен отношению (длине) противолежащего катета (то есть отрезка BC) к гипотенузе (сторона AC).
• Косинус угла альфа равен отношению прилежащего катета (отрезок AB) к гипотенузе AC

Другими словами, можно записать такое уравнение , и мы будем правы.

§ Вывод тождества

Если вспомнить теорему Пифагора, то там говорится, что сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы:
Раз так, то из определения синуса и косинуса можно вывести BC и AB, нужно лишь только домножить обе части уравнения на AC:
Давайте вставим эти AB и BC в теорему Пифагора:
Здесь AC, косинус, синус возводятся в квадраты и раскрываются скобки:
Отлично видно, что можно уравнение разделить на и останется следующее:
Вот и все! Синус и косинус местами поменял, потому что от перестановки слагаемых сумма не меняется.