§ Синус и косинус

Это тождество напрямую связано с теоремой Пифагора. Для начала, надо вспомнить, что такое синус и косинус. Но перед этим, конечно же, надо взглянуть на картинку с прямоугольным треугольником:

Дело в том, что:
  • Синус угла альфа sin \alpha в точности равен отношению (длине) противолежащего катета (то есть отрезка BC) к гипотенузе (сторона AC).
  • Косинус угла альфа cos \alpha равен отношению прилежащего катета (отрезок AB) к гипотенузе AC
Другими словами, можно записать такое уравнение sin \alpha = \frac{BC}{AC} , cos \alpha = \frac{AB}{AC} и мы будем правы.

§ Вывод тождества

Если вспомнить теорему Пифагора, то там говорится, что сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы:
AB^2 + BC^2 = AC^2
Раз так, то из определения синуса и косинуса можно вывести BC и AB, нужно лишь только домножить обе части уравнения на AC:
AB = AC cos \alpha
BC = AC sin \alpha
Давайте вставим эти AB и BC в теорему Пифагора:
(AC cos \alpha)^2 + (AC sin \alpha)^2 = AC^2
Здесь AC, косинус, синус возводятся в квадраты и раскрываются скобки:
AC^2 cos^2 \alpha + AC^2 sin^2 \alpha = AC^2
Отлично видно, что можно уравнение разделить на AC^2 и останется следующее:
sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1
Вот и все! Синус и косинус местами поменял, потому что от перестановки слагаемых сумма не меняется.
1 фев, 2022
© 2007-2022 Таффи плющит на работе