Главная » Математика » Вывод формулы сложения углов тангенса

§ Префейс

Эта тема ничего не значит, чисто математическая игра. Я как-то заметил формулу однажды:
\tan (\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}
После чего подумал, а как она выводится?

§ Тангенс

Что такое тангенс? Это всего лишь отношение синуса и косинуса:
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
Если так, то тогда формулу можно переписать иначе. Вообще, начну вот с чего:
\tan (\alpha \pm \beta) = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos (\alpha \pm \beta)}
Для простоты пока что буду выводить вариант первый \tan (\alpha + \beta) , сложение углов у тангенса.

§ Шаг 1

На основе разобранной ранее вывода формулы сложения углов синуса и косинуса, знаем что:
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
То есть, теперь что-то нужно сделать так, чтобы привести к тангенсам данные выражения.
\sin \alpha \cos \beta \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \cos \alpha \sin \beta \frac{\cos \beta}{\cos \beta}
Либо просто переставим местами.
\cos \alpha \cos \beta \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \cos \alpha \cos \beta \frac{\sin \beta}{\cos \beta}
Как можно заметить, в одной части уравнения я домножил и тут же разделил на косинус \alpha , а во второй тоже самое сделал с косинусом угла \beta . По определению тангенса, получились соотношения тангенсов:
\tan \alpha \cos \alpha \cos \beta + \tan \beta \cos \alpha \cos \beta = \cos \alpha \cos \beta (\tan \alpha + \tan \beta)
То есть получается что уравнения равнозначны.
\sin (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta (\tan \alpha + \tan \beta)
Если провести пересчет со знаком минус, то получим:
\sin (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta (\tan \alpha - \tan \beta)

§ Шаг 2

Теперь же попробуем тоже самое сделать со второй формулой:
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta \frac{\sin \beta}{\sin \beta} - \sin \alpha \sin \beta \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} = \cos \alpha \sin \beta \frac{\cos \beta}{\sin \beta} - \cos \alpha \sin \beta \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
Стоит отметить вот что:
\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha}
Потому что это котангенс. И потому по итогу получится следующее:
\cos \alpha \sin \beta \frac{1}{\tan \beta} - \cos \alpha \sin \beta \tan \alpha = \cos \alpha \sin \beta (\frac{1}{\tan \beta} - \tan \alpha)
Преобразовывая выражение
\frac{1}{\tan \beta} - \frac{\tan \alpha \tan \beta}{\tan \beta} = \frac{1 - \tan \alpha \tan \beta}{\tan \beta}
Итого:
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \sin \beta \frac{1 - \tan \alpha \tan \beta}{\tan \beta}

§ Финал

А теперь осталось объединить две полученных формулы в одну:
\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} = \frac{\cos \alpha \cos \beta (\tan \alpha + \tan \beta)}{\cos \alpha \sin \beta \frac{1 - \tan \alpha \tan \beta}{\tan \beta}}
Здесь сразу же видно, что сокращаются косинусы. Тангенс же можно вынести снизу наверх:
\tan \beta \frac{\cos \beta (\tan \alpha + \tan \beta)}{\sin \beta (1 - \tan \alpha \tan \beta)}
Если разложить тангенс на синус и косинус
\frac{\sin \beta \cos \beta (\tan \alpha + \tan \beta)}{\sin \beta \cos \beta (1 - \tan \alpha \tan \beta)} = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
Что и требовалось доказать.
19 авг 2023, 22:09
© 2011-2025 Суровые леса светят